Pretvorite vsa kompleksna števila v trigonometrično obliko in nato poenostavite izraz? Odgovor napišite v standardni obliki.

Odgovor:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2

Pojasnilo:

V drugem odgovoru na to vprašanje sem predvideval, da je v tem vprašanju prišlo do tipkarske napake #-3# naj bi bil # -sqrt {3} #. V komentarju sem dobil zagotovilo, da to ni tako, da je vprašanje pravilno napisano.

Ne bom ponovil, kako smo se odločili

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 {cis} 30 ^ circ #

Zdaj pa moramo spreobrniti # -3 + i # do trigonometrične oblike. To lahko storimo, toda ker to ni eden izmed Trigovih prednostnih trikotnikov, je malo bolj nerodno.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Smo v drugem kvadrantu in glavna vrednost inverznega tangenta je četrti kvadrant.

# (+ + i) = {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# 3 + i = sqrt {10} {cis} (besedilo {besedilo} besedilo {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ krog) #

De Moivre ne deluje zelo dobro na takšni obliki, kot smo

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} {cis} (3 (besedilo {Arc} besedilo {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Ampak nismo obtičali. Ker je eksponent samo #3# to lahko naredimo s tremi kotnimi formulami. Pokličimo konstantni kot, ki smo ga našli

#theta = kot (-3 + i) #

De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} {{cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Vemo

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Zdi se, da je to veliko več dela kot samo kubiranje # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

V redu, naredimo težavo:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} {cis}) ^ ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 {{cis}} ^ ^ ^ ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) {{cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / {{cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {text {cis} (225 ^ circ)} / {{cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, nikoli se ne konča. Dobimo

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt) {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (t {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #

"Lena ima 2 zaporedna cela števila.Opazi, da je njihova vsota enaka razliki med njimi. Lena izbira še 2 zaporedna cela števila in opazi isto stvar. Dokažite algebraično, da to velja za vsa 2 zaporedna cela števila?

Prosimo, da si ogledate Razlago. Spomnimo se, da se zaporedna cela števila razlikujejo za 1. Zato, če je m celo celo število, mora biti naslednja cela številka n + 1. Vsota teh dveh števil je n + (n + 1) = 2n + 1. Razlika med njihovimi kvadratki je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, po želji! Občuti radost matematike!

Zakaj morate poiskati trigonometrično obliko kompleksnega števila?

Glede na to, kaj morate storiti s kompleksnimi številkami, je lahko trigonometrična oblika zelo uporabna ali zelo trzna. Na primer, naj z_1 = 1 + i, z_2 = sqrt (3) + i in z_3 = -1 + i sqrt {3}. Izračunamo dve trigonometrični obliki: theta_1 = arctan (1) = pi / 4 in rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 in rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi in rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 Trigonometrični obrazci so: z_1 = sqrt {2} (cos ( pi / 4) + i sin (pi / 4)) z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3) pi)) Dodajanje Recimo, da želite izračun

Kako najdem trigonometrično obliko kompleksnega števila sqrt3 -i?

Naj bo z = sqrt {3} -i. | z | = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {4} = 2 Z izločitvijo 2, z = 2 (sqrt {3} / 2-1 / 2i) = r (cos theta + isin theta) z ujemanjem realnega dela in imaginarnega dela, Rightarrow {(r = 2), (cos theta = sqrt {3} / 2), (sin theta = -1 / 2):} Rightarrow theta = -pi / 6 Zato je z = 2 [cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)], ker je kosinus enak in sinus nenavaden, lahko napišemo tudi z = 2 [cos (pi / 6) -izin (pi / 6)] Upam, da je bilo to koristno.