Zakaj morate poiskati trigonometrično obliko kompleksnega števila?

Glede na to, kaj morate storiti s kompleksnimi številkami, je lahko trigonometrična oblika zelo uporabna ali zelo trzna.

Na primer, pustite # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # in # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Izračunajmo dve trigonometrični obliki:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # in # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # in # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # in # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Torej so trigonometrične oblike:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Dodatek

Recimo, da želite računati # z_1 + z_2 + z_3 #. Če uporabite algebraično obliko, dobite

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Preprosto. Zdaj poskusite s trigonometrično obliko …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Izkazalo se je, da je najkrajša pot za dodajanje teh dveh izrazov reševanje kosinusov in sinusov, kar pomeni … obračanje k algebraični obliki!

Algebraična oblika je pogosto najboljša izbira pri dodajanju kompleksnih števil.

Množenje

Zdaj poskušamo izračunati # z_1 * z_2 * z_3 #. Uporaba algebrskih oblik zahteva veliko nadležnih izračunov. Toda reševanje tega izdelka s trigonometričnimi oblikami je preprostejše:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Sestavine, ki dokazujejo, da druga enakost drži, prihajajo iz trigonometrije: obe formulo za dodajanje

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Množenje kompleksnih števil je celo čistejše (vendar konceptualno ne lažje) v eksponentni obliki.

V nekem smislu je trigonometrična oblika nekakšna vmesna oblika med algebrskimi in eksponentnimi oblikami. Trigonometrična oblika je način za preklapljanje med tema dvema. V tem smislu je nekakšen "slovar" za "prevajanje" oblik.