Na kakšnih intervalih je naslednja enačba konkavna navzgor, konkavna navzdol in kjer je prevojna točka (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Odgovor:

• če # 0 <x <e ^ (- 15/56) # potem # f # je konkavno navzdol;
• če #x> e ^ (- 15/56) # potem # f # je konkavno navzgor;
• # x = e ^ (- 15/56) # je (padajoče) pregibne točke

Pojasnilo:

Analizirati konkavne in pregibne točke dvakrat diferenciabilne funkcije # f #, lahko preučimo pozitivnost drugega derivata. Pravzaprav, če # x_0 # je točka v domeni # f #, potem:

• če #f '' (x_0)> 0 #, potem # f # je konkavno navzgor v soseščini # x_0 #;
• če #f '' (x_0) <0 #, potem # f # je konkavno navzdol v soseščini # x_0 #;
• če #f '' (x_0) = 0 # in znak #f '' # na dovolj majhni desni soseščini # x_0 # je nasprotno od znaka #f '' # na dovolj majhni levi soseščini # x_0 #, potem # x = x_0 # se imenuje prevojno točko od # f #.

V posebnem primeru #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, imamo funkcijo, katere domena mora biti omejena na pozitivne reale #RR ^ + #.

Prvi derivat je

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Drugi derivat je

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56 ln (x) +15 #

Preučimo pozitivnost #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Torej, glede na to, da je domena #RR ^ + #, smo dobili to

• če # 0 <x <e ^ (- 15/56) # potem #f '' (x) <0 # in # f # je konkavno navzdol;
• če #x> e ^ (- 15/56) # potem #f '' (x)> 0 # in # f # je konkavno navzgor;
• če # x = e ^ (- 15/56) # potem #f '' (x) = 0 #. Glede na to na levi strani te točke #f '' # negativna in na desni je pozitivna, zaključujemo # x = e ^ (- 15/56) # je (padajoče) pregibne točke