Krogla je padla naravnost navzdol z višine 12 čevljev. Po udarcu v zemljo se odbije nazaj za 1/3 razdalje, ki jo je padla. Kako daleč bo krogla potovala (navzgor in navzdol), preden pride do mirovanja?

Odgovor:

Žoga bo potovala 24 čevljev.

Pojasnilo:

Ta problem zahteva upoštevanje neskončnih serij. Upoštevajte dejansko vedenje žoge:

Najprej je žoga padla 12 čevljev.

Naprej se žogica odbije #12/3 = 4# stopala.

Žoga pade na 4 čevlje.

Na vsakem zaporednem odskoku, žoga odpotuje

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # noge # n # je število posnetkov

Torej, če si predstavljamo, da se začne žogica #n = 0 #, potem je naš odgovor mogoče dobiti iz geometrične serije:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Zapomnite si #-12# korekcijski izraz, to je zato, ker če začnemo # n = 0 # štejemo 0th bounce 12 metrov in 12 metrov navzdol. V resnici žoga le prepotuje polovico, saj se začne v zraku.

Poenostavimo naš znesek za:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

To je preprosta geometrijska serija, ki sledi pravilu, da:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Dokler # | r | <1 #

Tako dobimo preprosto rešitev za naš problem:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# stopala.