Kako najdete sin (x / 2), cos (x / 2) in tan (x / 2) iz dane posteljice (x) = 13?

Odgovor:

Obstajajo štiri vrednosti za # x / 2 # na enoti kroga, tako da štiri vrednosti za vsako trigonomsko funkcijo. Glavna vrednost polovičnega kota je okoli # 2.2 ^ circ.

#cos (1 / 2text {Arc} besedilo {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} besedilo {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} besedilo {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Oglejte si razlago za druge.

Pojasnilo:

Najprej se pogovorimo o odgovoru. Obstajata dva kota na enoti kroga, katerega je kotangens #13#. Ena je okoli # 4.4 ^ circ #, drugi pa je plus # 180 ^ circ #, pokliči # 184.4 ^ Circ #. Vsak od teh ima dva polovična kota, spet ločena z # 180 ^ circ. Prva ima polovični kot # 2.2 ^ circ # in # 182.2 ^ circ #, drugi ima polovični kot # 92.2 ^ circ # in # 272.2 ^ circ #Torej gre za resnično štiri polovice kota, z različnimi, vendar povezanimi vrednostmi za njihove trigonomske funkcije.

Zgornje kote bomo uporabili kot približke, tako da imamo imena za njih.

Kotniki s kotangensom 13:

#text {Arc} besedilo {cot} 13 približno 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + besedilo {Arc} besedilo {cot} 13 približno 184,4 ^ circ #

Polovični koti:

# 1/2 besedilo {Arc} besedilo {cot} 13 približno 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + besedilo {Arc} besedilo {cot} 13) približno 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + besedilo {Arc} besedilo {cot} 13) približno 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + besedilo {Arc} besedilo {cot} 13) približno 272.2 ^ circ #

V redu, formule dvojnega kota za kosinus so:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

tako so ustrezne formule za pol kota

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

To je vse predhodno. Naredimo problem.

Najprej bomo naredili majhen kot, # 2.2 ^ circ. Vidimo, da so ostali samo večkratniki # 90 ^ circ # zgoraj, tako da lahko iz tega prvega kota dobimo njihove trigonomske funkcije.

Kotangens 13 je naklon #1/13# tako ustreza pravokotnemu trikotniku z nasprotnim #1#, v bližini #13# in hipotenuza #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}.

#cos (besedilo {Arc} besedilo {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (besedilo {Arc} besedilo {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Zdaj uporabimo formule za polovični kot. Za naš najnovejši kot v prvem kvadrantu izberemo pozitivne znake.

#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13}) / sqrt {170})} #

Lahko bi poskušali poenostaviti in premakniti frakcije zunaj radikala, vendar ga bom pustil tukaj.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13}) / sqrt {170})} #

Tangentni polovični kot je količnik teh, vendar je lažji za uporabo

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} besedilo {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, to je najtežji del, toda ne pozabimo drugih kotov.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Zdaj imamo preostale kote, ki zamenjajo sinusne in kosinusne znake. Ne bomo ponovili obrazcev, razen tangente.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Fuj.

Odgovor:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Pojasnilo:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1 - 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + posteljica ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + posteljica ^ 2 (x / 2) #

Toda vedo #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Kdaj #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Kdaj #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #