Kako najdete območje paralelograma z vozlišči?

Odgovor:

Za paralelogram # ABCD # območje je

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Pojasnilo:

Predpostavimo, da je naš paralelogram # ABCD # je definirana s koordinatami njenih štirih vozlišč - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Za določitev območja našega paralelograma potrebujemo dolžino njegove osnove # | AB | # in nadmorske višine # | DH | # iz vrha # D # do točke # H # na strani # AB # (to je, #DH_ | _AB #).

Najprej, da poenostavimo nalogo, jo premaknimo na položaj, ko je njegova točka # A # sovpada z izvorom koordinat. Območje bo enako, vendar bodo izračuni lažji.

Tako bomo izvedli naslednjo transformacijo koordinat:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Potem (# U, V #) koordinate vseh tock bodo:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Naš paralelogram je zdaj definiran z dvema vektorjema:

# p = (U_B, V_B) # in # q = (U_D, V_D) #

Določite dolžino osnove # AB # kot dolžino vektorja # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Dolžina nadmorske višine # | DH | # lahko izrazimo kot # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Dolžina # AD # je dolžina vektorja # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kot #/_SLAB# lahko določimo z uporabo dveh izrazov za skalarni (pika) produkt vektorjev # p # in # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

od katerih

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Zdaj vemo vse komponente za izračun območja:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Nadmorska višina # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Območje je njihov izdelek:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Glede na izvirne koordinate izgleda tako:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Odgovor:

drugo razpravo

Pojasnilo:

Geometrijski dokaz

Glede na sliko

enostavno izračunamo formulo za izračun površine paralelograma ABCD, ko so znane vse tri točke (npr. A, B, D).

Ker diagonalna BD paralelogram prepolovi dva konkurentna trikotnika.

Območje paralelograma ABCD

= 2 površina trikotnika ABD

= 2 območje trapeznega BAPQ + območje pasti BQRD - območje pasti DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + prekliči (Y_BX_B) -prekliči (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + prekliči (Y_DX_D) -prekliči (Y_BX_B) -Y_AX_D-preklic (Y_DX_D) + prekliči (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ta formula bo dala območje paralelograma.

Dokaz z upoštevanjem vektorja

Lahko se ugotovi tudi glede na to #vec (AB) # in# vec (AD) #

Zdaj

Pozicijski vektor točke A w.r, t izvor O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Pozicijski vektor točke B w.r, t izvor O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Pozicijski vektor točke D w.r, t izvor O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Zdaj

Območje paralelograma ABCD

# = Osnovna (AD) * Višina (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Ponovno

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) #

Območje = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + prekliči (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-prekliči (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Tako imamo enako formulo