Kaj je derivat y = (sinx) ^ x?

Odgovor:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Pojasnilo:

Uporabite logaritemsko diferenciacijo.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Uporabite lastnosti # ln #)

Razlikovati implicitno: (Uporabite pravilo o izdelku in obroč verige)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Torej imamo:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Rešite za # dy / dx # z množenjem z #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Odgovor:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Pojasnilo:

Najlažji način, da to vidite, je:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Ob upoštevanju tega dobimo:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Zdaj moramo upoštevati, da če # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # je neopredeljeno.

Vendar, ko bomo analizirali obnašanje funkcije okoli # x #'s za katero to drži, ugotavljamo, da se funkcija obnaša dovolj dobro, da to deluje, ker, če:

# (sinx) ^ x # pristopa 0

potem:

#ln ((sinx) ^ x) # pristopa # -oo #

tako:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # se bo približala tudi 0

Poleg tega ugotavljamo, da če #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # bo kompleksno število; vse algebre in račun, ki smo ga uporabili, pa tudi v kompleksni ravnini, zato to ni problem.

Odgovor:

Na splošno …

Pojasnilo:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #