Krog A ima središče (6, 5) in površino 6 pi. Krog B ima središče (12, 7) in območje 48 pi. Ali se krogi prekrivajo?

Odgovor:

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # in

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

lahko naredimo pravi trikotnik s kvadrati stranic 48, 6 in 40, tako da se ti krogi sekajo.

Pojasnilo:

Zakaj brezplačna # pi #?

Območje je #A = pi r ^ 2 # tako # r ^ 2 = A / pi. Prvi krog ima radij # r_1 = sqrt {6} # in drugo # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centri so #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # narazen.

Torej se krogi prekrivajo, če #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

To je tako grdo, da bi ti bilo odpuščeno, ker si posegel po kalkulatorju. Ampak res ni potrebno. Oglejmo si obvoz in si oglejte, kako se to izvaja z Rational Trigonometry. Tam se ukvarjamo samo s kvadratnimi dolžinami, ki jih kličemo kvadranti.

Recimo, da želimo preskusiti, če so tri kvadrane # A, B, C # so kvadrati med tremi kolinearnimi točkami, t.j. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # ali #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # ali #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Napisali ga bomo kot

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Kvadratiranje, #C = A + B 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Ponovno kvadriranje, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Izkazalo se je

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

je diskriminantno za trikotnike. Samo pokazali smo, če #mathcal {A} = 0 # to pomeni, da imamo a degeneriran trikotnik, oblikovane iz treh kolinearnih točk. Če #mathcal {A}> 0 # potem imamo pravi trikotnik, vsaka stran manj kot vsota drugih dveh. Če #mathcal {A} <0 # nimamo strani, ki izpolnjujejo neenakost trikotnika, in včasih to imenujemo a namišljeni trikotnik.

Vrnimo se nazaj na naše vprašanje, oboroženo z novim diskriminantnim trikotnikom #mathcal {A} #. Če se krogi sekajo, lahko naredimo trikotnik obeh središč in križišče, tako da bosta imeli dolžine # r_1 #, # r_2 #in razdaljo med centri #(6,5)# in #(12,7)#. Imamo

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # zato imamo pravi trikotnik, tj. prekrivajoče se kroge.

Oh ja, za vsak trikotnik #mathcal {A} = 16 (besedilo {area}) ^ 2.

Preverite: Alpha

Krog A ima središče (12, 9) in območje 25 pi. Krog B ima središče (3, 1) in območje 64 pi. Ali se krogi prekrivajo?

Da Najprej moramo najti razdaljo med središči obeh krogov. To je zato, ker je ta razdalja, kjer bodo krogi najbližje skupaj, tako da, če se prekrivajo, bo to vzdolž te črte. Da bi našli to razdaljo, lahko uporabimo formulo razdalje: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Zdaj moramo najti polmer vsakega kroga. Vemo, da je območje kroga pir ^ 2, zato ga lahko uporabimo za reševanje r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r_2 = 8 Končno dodamo ta dva polmera skupaj. Vsota polmerov je 13, ki je večja od razdalj

Krog A ima središče (3, 5) in površino 78 pi. Krog B ima središče (1, 2) in površino 54 pi. Ali se krogi prekrivajo?

Da Najprej, potrebujemo razdaljo med dvema središčema, ki je D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Zdaj potrebujemo vsoto polmerov, ker: D> (r_1 + r_2); "Krogi se ne prekrivajo" D = (r_1 + r_2); "Krogi se samo dotaknejo" D <(r_1 + r_2); "Krogi se prekrivajo" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16,2 16,2> 3,61, tako da se krogi prekrivajo. Dokaz: graf {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54)

Krog A ima središče (1, 5) in območje 24 pi. Krog B ima središče (8, 4) in površino 66 pi. Ali se krogi prekrivajo?

Da, krogi se prekrivajo. Razdalja od središča kroga A do središča kroga B = 5sqrt2 = 7.071 Vsota njihovih polmerov je = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Bog blagoslovi .... Upam, da je razlaga uporabna.