Krog A ima središče (3, 5) in površino 78 pi. Krog B ima središče (1, 2) in površino 54 pi. Ali se krogi prekrivajo?

Odgovor:

Da

Pojasnilo:

Prvič, potrebujemo razdaljo med dvema središčema, ki je # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Zdaj potrebujemo vsoto polmerov, ker:

#D> (r_1 + r_2); »Krogi se ne prekrivajo« #

# D = (r_1 + r_2); "Krogi se samo dotaknejo" #

#D <(r_1 + r_2); "Krogi se prekrivajo" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, zato se krogi prekrivajo.

Dokaz:

graf {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12.64}

Odgovor:

Te se prekrivajo, če #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Lahko preskočimo kalkulator in preverimo # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # ali #4(13)(54) > 11^2# kar je zagotovo, tako da, prekrivajo.

Pojasnilo:

Območje kroga je seveda #pi r ^ 2 # zato razdelimo brezplačne # pi #s.

Imamo kvadratne radije

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

in kvadratno razdaljo med centri

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

V bistvu želimo vedeti, če # r_1 + r_2 ge d #če lahko naredimo trikotnik iz dveh polmerov in segment med središči.

Skrajšane dolžine so lepa cela števila in to je zelo noro, da vsi instinktivno posegamo po kalkulatorju ali računalniku in začnemo s kvadratnimi koreninami.

Ni nam treba, toda zahteva malo ovinek. Uporabimo Heronovo formulo, pokličemo območje # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kje # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((+ b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je že bolje kot Heron. Toda nadaljujemo. Preskočil bom dolgočasno.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je lepo simetrično, kot bi pričakovali za formulo za območje. Naj bo manj simetrično videti. Recall

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2 ^ ^ 2c ^ 2 #

Dodajanje, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

To je formula za kvadratno površino trikotnika glede na kvadratno dolžino stranic. Ko so slednja racionalna, je tudi prva.

Poskusimo. Stranke lahko prosto določimo, kljub temu pa želimo; za ročno izračunavanje je najbolje, da naredite # c # največja stran, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Še preden smo jo izračunali, lahko vidimo, da imamo pozitivno # 16Q ^ 2 # tako pravi trikotnik s pozitivnim območjem, tako da se prekrivajo krogi.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Če smo dobili negativno vrednost, namišljeno območje, to ni pravi trikotnik, zato se ne prekrivajo krogi.