Dokaži, da je vijolično osenčeno območje enako površini inkirle enakostraničnega trikotnika (rumeni črtasti krog)?

Odgovor:

Pojasnilo:

Območje narobe je # pir ^ 2 #.

Opazovanje pravega trikotnika s hipotenuzo # R # in nogo # r # na dnu enakostraničnega trikotnika, preko trigonometrije ali lastnosti #30 -60 -90 # Pravi trikotniki lahko vzpostavimo odnos, ki # R = 2r #.

Upoštevajte, da je nasprotni kot # r # je #30 # od enakopravnega trikotnika #60 # kot je bil prepuščen.

Ta isti trikotnik je mogoče rešiti s Pitagorovim izrekom, da pokažemo, da je polovica dolžine stranic enakostraničnega trikotnika #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Zdaj preučujemo polovico enakostraničnega trikotnika kot pravokotni trikotnik in vidimo, da je višina # h # enakostranični trikotnik je mogoče rešiti v smislu # r # uporabo razmerja #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Od #tan (60) = sqrt3 #, to postane # h / (rsqrt3) = sqrt3 # tako # h = 3r #.

Območje enakostraničnega trikotnika je torej # 1 / 2bh #, in njegova osnova je # 2rsqrt3 # in njegovo višino # 3r #. Tako je njeno območje # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Območje manjše osenčene regije je enako tretjini površine enakostraničnega trikotnika, zmanjšanega za krožno, ali # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # kar ustreza # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Območje večjega kroga je # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Območje večje osenčene regije je ena tretjina območja večjega kroga minus območje enakostraničnega trikotnika ali # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # kar poenostavlja # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Skupna površina osenčenega območja je potem # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, ki je enakovredna območju, v katero je nameščena.

Odgovor:

Pojasnilo:

Za enakostranični trikotnik težišče, središče krožnice in ortocenter sovpadata.

Torej bo polmer kroga (R) in polmera kroga (r) imel naslednjo povezavo

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Zdaj je iz slike jasno, da območje BIG vijolične barve# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

In območje majhne vijolične osenčene regije# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

kje #Delta # predstavlja območje enakostraničnega trikotnika.

Torej

#color (vijolična) ("SKUPAJ območje BIG in MALO vijolično osenčene regije" #)

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1 / 3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-odpovedDelta + prekličiDelta-pir ^ 2) #

Vstavljanje R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> barva (oranžna) "Površina rumenega črtastega kroga" #