Kako testirate za konvergenco za 1 / ((2n + 1)!)?

Odgovor:

V primeru, da ste mislili "preizkusite konvergenco." serije: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Odgovor je: it #color (modra) "konvergira" #

Pojasnilo:

Če želite izvedeti, lahko uporabimo test razmerja.

To je, če # "U" _ "n" # ali je # n ^ "th" # ta serija

Potem, če to pokažemo #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) <1 #

to pomeni, da se serija konvergira

Na drugi strani, če #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" ("n" +1)) / "U" _n)> 1 #

to pomeni, da se serija razlikuje

V našem primeru

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# in

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) +1!) = 1 / (2n + 3!) #

Zato # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

# "Obvestilo, da": #

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)!

Tako kot: # 10! = 10xx9xx8!

Odštejemo #1# vsakič, da dobite naslednje

Tako imamo, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Naprej testiramo, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) #

# = lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # in #0# je manj kot #1#

Zato je povsem varno zaključiti, da je serija #color (modra) "konvergira"! #

Kako določiti konvergenco ali divergenco zaporedja an = ln (n ^ 2) / n?

Zaporedje konvergirajo Če želite ugotoviti, ali zaporedje a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konvergira, opazimo, kaj je a_n kot n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n z uporabo l'Hôpitalovega pravila, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Ker je lim_ (n-> oo) a_n končna vrednost, zaporedje konvergira.

Kako najdem konvergenco ali divergenco te serije? vsota od 1 do neskončnosti 1 / n ^ lnn

Konvergira Razmislite o seriji sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, kjer je p> 1. S p-testom ta serija konvergira. Zdaj, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p za vse dovolj velike n, dokler je p končna vrednost. Tako se s preskusom neposredne primerjave sumi (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n konvergira. Dejansko je vrednost približno enaka 2.2381813.

Kako testirate za konvergenco za vsoto (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) za k = 1 do neskončnosti?

Serija popolnoma konvergira. Najprej upoštevajte, da: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 za k = 1 ... oo in (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 za k = 1 ... oo Torej, če se sum5 / k ^ 3 konvergira, tako bo vsota (4 + abs (cosk)) / k ^ 3, ker bo manjša od novega izraza (in pozitivno). To je p serija s p = 3> 1. Zato se serija popolnoma približa: Glej http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html za več informacij.