Kakšna je najmanjša vrednost g (x) = x / csc (pi * x) na intervalu [0,1]?

Odgovor:

Obstaja minimalna vrednost #0# na obeh straneh # x = 0 # in # x = 1 #.

Pojasnilo:

Najprej lahko takoj zapišemo to funkcijo kot

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Spomnimo se tega #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Zdaj, da bi našli najmanjše vrednosti v intervalu, se zavedajte, da se lahko pojavijo bodisi na končnih točkah intervala ali na vseh kritičnih vrednostih, ki se pojavijo v intervalu.

Če želite poiskati kritične vrednosti znotraj intervala, določite derivat funkcije enako #0#.

In za razlikovanje funkcije, bomo morali uporabiti pravilo izdelka. Uporaba pravila o izdelku nam daje

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Vsak od teh derivatov daje:

# d / dx (x) = 1 #

In skozi pravilo verige:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Če jih združimo, to vidimo

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Tako se bodo kritične vrednosti pojavile kadarkoli

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Tega ne moremo rešiti algebraično, zato uporabite kalkulator, da najdete vse ničle te funkcije na danem intervalu #0,1#:

graf {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Dve kritični vrednosti znotraj intervala sta na # x = 0 # in # xapprox0.6485 #.

Torej, vemo, da je minimalna vrednost #g (x) # lahko pride do #3# različnih mestih:

# x = 0 # ali # x = 1 #, končne točke intervala
# x = 0 # ali # x = 0.6485 #, kritične vrednosti znotraj intervala

Zdaj vključite vsako od teh možnih vrednosti v interval:

# {(g (0) = 0, barvno (rdeče) besedilo (minimalno)), (g (0,6485) = 0,5792, barvno (modro) besedilo (največ)), (g (1) = 0, barva (rdeča)) besedilo (minimalno)):} #

Ker obstajata dve vrednosti, ki sta enako nizki, sta oba minimuma na # x = 0 # in # x = 1 #. Upoštevajte, da čeprav smo šli skozi iskanje težav # x = 0.6485 #, ni bilo niti minimalno.

Graphed je #g (x) # na intervalu #0,1#:

graf {x / csc (pix) -05, 1.01, -.1,.7}

Upoštevajte tudi, da je najmanjša vrednost #0#, od #g (0) = g (1) = 0 #. To je razlika # x = 0 # in # x = 1 # so lokacije minimumov.

Povprečna vrednost funkcije v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] je enaka 1. Kakšna je vrednost c?

C = 4 Povprečna vrednost: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Torej je povprečna vrednost (-4 / c + 4) / (c-1) Reševanje (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 nam daje c = 4.

Kakšna je najmanjša vrednost g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? na intervalu [-2,2]?

Najmanjša vrednost je pri x = 1-sqrt 5 pribl. "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) pribl. "-" 0,405. V zaprtem intervalu bodo možne lokacije za minimum: lokalni minimum znotraj intervala ali končne točke intervala. Zato izračunamo in primerjamo vrednosti za g (x) pri poljubni x v ["-2", 2], ki pomeni g '(x) = 0, kot tudi pri x = "- 2" in x = 2. Prvič: kaj je g '(x)? S pravilom količnika dobimo: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 barva (bela) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 barva (bela) (g' (x)) = - (x ^ 2-2x-

Kakšna je najmanjša vrednost g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? na intervalu [1,7]?

Funkcija se stalno povečuje v intervalu [1,7], njegova najmanjša vrednost je pri x = 1. Očitno je, da x ^ 2-2x-11 / x ni definiran pri x = 0, vendar je definiran v intervalu [1,7]. Zdaj je derivat x ^ 2-2x-11 / x 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) ali 2x-2 + 11 / x ^ 2 in je pozitiven v vsej [1,7] Zato je funkcija neprekinjeno narašča v intervalu [1,7] in kot taka najmanjša vrednost x ^ 2-2x-11 / x v intervalu [1,7] je pri x = 1. graf {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}