Kakšna je najmanjša vrednost g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? na intervalu [-2,2]?

Odgovor:

Najmanjša vrednost je pri # x = 1-sqrt 5 pribl. "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) pribl. "-" 0,405 #.

Pojasnilo:

V zaprtem intervalu bodo možne lokacije za najmanj:

• lokalni minimum znotraj intervala, ali
• končne točke intervala.

Zato izračunamo in primerjamo vrednosti za #g (x) # ob vsakem #x v "-2", 2 # to pomeni #g '(x) = 0 #, kot tudi na #x = "- 2" # in # x = 2 #.

Prvič: kaj je #g '(x) #? S pravilom količnika dobimo:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#barva (bela) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#barva (bela) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

To bo enako nič, ko je števec nič. Po kvadratni formuli dobimo

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 približno {"-1.236", 3.236} #

Samo eden od teh # x #Vrednosti so v #'-2',2#, in to je # x = 1-sqrt 5 #.

Zdaj izračunamo:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (bela) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * barva (modra) ((5 + 5 del) / (5+ kvadratnih 5)) #

#barva (bela) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#barva (bela) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) pribl. "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Primerjava teh treh vrednosti #g (x) #, to vidimo #g (1-sqrt 5) # je najmanjša. Torej # - (1+ sqrt 5) / 8 # je naša najmanjša vrednost za #g (x) # na #'-'2, 2#.