Krog ima središče, ki pade na črto y = 7 / 2x +3 in poteka skozi (1, 2) in (8, 1). Kakšna je enačba kroga?

Odgovor:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Pojasnilo:

Točka A #(1,2)# in točko B #(8,1)# mora biti enaka razdalja (en polmer) od središča kroga

To je na liniji točk (L), ki so enako oddaljene od A in B

formula za izračun razdalje (d) med dvema točkama (od pythagorusa) je # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

nadomestimo v tistem, kar vemo za točko A in poljubno točko na L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

nadomestimo v tistem, kar vemo za točko B in poljubno točko na L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Zato

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Razširite oklepaje

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Poenostavite

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

osrednja točka leži na črti #y = 7x - 30 # (množica točk enako oddaljenih od A in B)

in na progi #y = 7x / 2 + 3 # (podano)

rešiti, kjer se ti dve črti prečkajo, da bi našli središče kroga

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

nadomestiti #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Središče kroga je ob #(66/7, 36)#

kvadratni polmer kroga se lahko sedaj izračuna kot

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Splošna formula za krog ali polmer # r # je

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # s središčem pri h, k

Zdaj vemo # h #, # k # in # r ^ 2 # in jih lahko nadomestijo s splošno enačbo za krog

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

razširite oklepaje

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

in poenostaviti

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #