Kaj je ortocenter trikotnika z vozlišči pri O (0,0), P (a, b) in Q (c, d) #?

Odgovor:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Pojasnilo:

To staro vprašanje sem posplošil, namesto da bi vprašal novo. To sem počel prej, ko sem se odločil za vprašanje circumcenter in nič slabega se ni zgodilo, zato nadaljujem serijo.

Kot prej sem postavil eno točko na začetku, da bi poskušal obdržati algebru. Poljuben trikotnik je lahko preveden in rezultat se enostavno prevede nazaj.

Ortocenter je presečišče višin trikotnika. Njegov obstoj temelji na izreku, da se višine trikotnika sekajo na točki. Pravimo, da so tri višine hkrati.

Dokažimo, da so višine trikotnika OPQ sočasne.

Smerni vektor stranskega OP je # P-O = P = (a, b), # kar je samo domišljijski način, da se pove, da je pobočje # b / a # (vektor smeri deluje tudi, ko # a = 0 #). Tu dobimo smerni vektor pravokotnice z zamenjavo koordinat in negiranjem # (b, -a). Pravokotno potrjuje izdelek z ničelno točko:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Parametrična enačba nadmorske višine od OP do Q je tako:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # zares # t #

Nadmorska višina od OQ do P je podobno

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # zares # u #

Smerni vektor PQ je # Q-P = (c-a, d-b) #. Pravokotnica skozi izvor, t.j. nadmorska višina od PQ, je tako

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # zares # v #

Poglejmo sestavo višin iz OP in PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

To sta dve enačbi v dveh neznanih, # t # in # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Prvo bomo pomnožili # a # in drugi z # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Dodajanje, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Tako se lahko ohladi s točkovnim izdelkom v števcu in navzkrižnim izdelkom v imenovalcu.

Srečanje je domnevni orthocenter # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Najdimo srečanje višin OQ in PQ. Po simetriji lahko zamenjamo # a # z # c # in # b # z # d #. Poklicali bomo rezultat # (x ', y').

# (x ', y') = {ca + db} / {cb-da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Imamo ti dve križišči, ki sta enaka, # (x ', y') = (x, y), # zato smo dokazali, da so višine sočasne. #quad sqrt #

Opravili smo poimenovanje skupnega presečišča orthocenter, in našli smo njegove koordinate.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #