Kako rešiti ločljivo diferencialno enačbo in poiskati določeno rešitev, ki izpolnjuje začetni pogoj y ( 4) = 3?

Odgovor:

Splošna rešitev: #color (rdeča) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Posebna rešitev: #barva (modra) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Pojasnilo:

Iz dane diferencialne enačbe #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

upoštevajte, da #y '(x) = dy / dx # in #y (x) = y #zato

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

razdelite obe strani z #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Pomnožite obe strani z # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

prenesti # dx # na levo

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

na obeh straneh imamo naslednje rezultate

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (rdeča) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Splošna rešitev

Toda #y (-4) = 3 # pomeni, kdaj # x = -4 #, # y = 3 #

Zdaj lahko rešimo za # C_1 # rešiti za določeno rešitev

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Zato je naša posebna rešitev

#barva (modra) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Bog blagoslovi …. Upam, da je razlaga koristna.

Odgovor:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, s #y> = - 13/4 #.

Pojasnilo:

#y> = - 13/4 #, narediti #sqrt (4y + 13) # resnično..

Preurejanje, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Torej, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Uporaba #y = 3, ko je x = -4, C = -`13 / 2 #

Torej. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Obratno. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #

Kaj je rešitev za diferencialno enačbo dy / dx + y = x?

Y = A e ^ -x + x - 1 "To je linearen prvi red. eq. Obstaja splošna tehnika za reševanje te vrste enačb." "Najprej poiščite rešitev homogene enačbe (= enaka enačba z desno stranjo enaka nič:" {dy} / {dx} + y = 0 "To je linearen prvi red dif. Z enakimi koeficienti. "Lahko rešimo tiste z zamenjavo" y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0 "(po delitvi skozi" A "). e ^ (rx) ")" => r = -1 => y = A e ^ -x "Potem iščemo določeno rešitev celotne enačbe." "Tu imamo enostavno situacijo, saj imamo enostaven polinom" "na des

Kaj je rešitev za diferencialno enačbo dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Splošna rešitev je: y = 1-1 / (e ^ t + C) Imamo: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Za podobne spremenljivke lahko zberemo izraze: 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t, ki je ločljiva navadna nelinearna diferencialna enačba prvega reda, tako da lahko "ločimo spremenljivke", da dobimo: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt Oba integrala sta tista standardnih funkcij, zato lahko to znanje uporabimo za neposredno integracijo: -1 / (y-1) = e ^ t + C In lahko zlahka preuredimo za y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C) Vodenje k splošni rešitvi: y = 1-1 / (e ^ t + C)

Kaj je posebna rešitev za diferencialno enačbo (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) in u (0) = - 5?

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C z uporabo IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C pomeni C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25