Kaj je rešitev za diferencialno enačbo dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Odgovor:

Splošna rešitev je:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Pojasnilo:

Imamo:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Izberemo lahko izraze za podobne spremenljivke:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Katera je ločljiva navadna nelinearna diferencialna enačba prvega reda, tako da lahko "ločite spremenljivke" dobiti:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Oba integrala sta standardna funkcija, zato lahko to znanje uporabimo za neposredno integracijo:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

In lahko zlahka preuredimo # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Upoštevanje splošne rešitve:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Odgovor:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Pojasnilo:

To je ločljiva diferencialna enačba, kar pomeni, da jo lahko zapišemo v obliki:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

To je mogoče rešiti z integracijo obeh strani:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

V našem primeru moramo najprej ločiti integral v pravo obliko. To lahko naredimo z delitvijo obeh strani # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Zdaj lahko združimo obe strani:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Levo roko lahko rešimo z zamenjavo # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 d = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Ponovna vzpostavitev (in združevanje konstant) daje:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Pomnožite obe strani z # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Razdelite obe strani z # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #