Kako najdete asimptote za y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Odgovor:

Navpično

# x = 1 #

# x = 3 #

Vodoravno

# x = 1 # (za oba # + - oo #)

Oblique

Ne obstaja

Pojasnilo:

Let # y = f (x) #

• Vertikalne asimptote

Poiščite meje funkcije, saj teže do meja svoje domene, razen neskončnosti. Če je njihov rezultat neskončnost, potem to # x # je asimptota. Tu je domena:

#x v (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Torej 4 mogoče navpične asimptote so:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asimptota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Navpična asimptota za # x = 1 #

Opomba: za # x-1 # od # x # je nekoliko nižji od 1, rezultat bo nekaj manjši od 0, zato bo znak negativen, torej opomba #0^-# ki se pozneje prevede v negativen znak.

Potrditev asimptote # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Potrjeno

Asimptota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Navpična asimptota za # x = 3 #

Potrditev asimptote # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Potrjeno

• Horizontalne asimptote

Poiščite obe omejitvi, kot je funkcija # + - oo #

Minus neskončnost #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x - 1) (x - 3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (preklic (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (preklic (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontalna asimptota za # y = 1 #

Plus neskončnost #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (preklic (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (preklic (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontalna asimptota za # y = 1 #

Opomba: tako se zgodi, da ima ta funkcija skupno horizontalo za obe # -oo # in # + oo #. Vedno preverite oba.

• Kosi asimptoti

Najprej morate najti obe omejitvi:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Če je ta meja resnično število za vsako, potem asimptota obstaja in meja je njen naklon. The # y # prestrezanje vsakega je meja:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Vendar, da bi nas rešili težav, lahko uporabite nekaj funkcije "znanje", da se temu izognete. Ker vemo #f (x) # ima horizontalno asimptoto za oba # + - oo # Edini način, da imamo poševno je, da ima druga črta kot #x -> + - oo #. Vendar pa #f (x) # je #1-1# funkcijo, tako da ne more biti dveh # y # vrednosti za eno # x #, zato je druga vrstica nemogoča, zato je nemogoče imeti poševne asimptote.