Kako najdete linearno približevanje korenu (4) (84)?

Odgovor:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Pojasnilo:

Upoštevajte, da #3^4 = 81#, ki je blizu #84#.

Torej #root (4) (84) # je malo večja kot #3#.

Za boljši približek lahko uporabimo linearno aproksimacijo, a.k.a. Newtonovo metodo.

Določi:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Nato:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

in dobil približno ničlo # x = a # od #f (x) #, boljši približek je:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Torej, v našem primeru, dajanje # a = 3 #, boljši približek je:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02 bar (7) #

To je skoraj natančno #4# pomembne številke, vendar pa citiramo približek kot #3.03#

Odgovor:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Pojasnilo:

Upoštevajte, da je linearno približevanje blizu točke # a # lahko dodeli:

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Če je podano: #f (x) = root (4) (x) #

potem primerna izbira za # a # bi bilo # a = 81 # ker vemo #root (4) 81 = 3 # natančno in je blizu #84#.

Torej:

#f (a) = f (81) = koren (4) (81) = 3 #

Tudi;

#f (x) = x ^ (1/4) # tako #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Zato lahko približamo (blizu #81#):

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Torej:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Bolj natančna vrednost je #3.02740#

zato je linearno približevanje precej blizu.

Odgovor:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Pojasnilo:

Lahko rečemo, da imamo funkcijo #f (x) = root (4) (x) #

in # root (4) (84) = f (84) #

Zdaj pa poiščimo derivat naše funkcije.

Uporabljamo pravilo moči, ki pravi, da če #f (x) = x ^ n #, potem #f '(x) = nx ^ (n-1) # kje # n # je konstanta.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Zdaj, približati # root (4) (84) #, skušamo najti popolno četrto moč najbližjo 84

Pa poglejmo…

#1#

#16#

#81#

#256#

To vidimo #81# je naša najbližja.

Sedaj najdemo tangento naše funkcije, ko # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

To je pobočje, ki ga iščemo.

Poskusimo napisati enačbo tangentne črte v obliki # y = mx + b #

No, kaj je # y # enako # x = 81 #?

Pa poglejmo…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Zato imamo zdaj:

# 3 = m81 + b # Vemo, da je pobočje, # m #, je #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Zdaj lahko rešimo za # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Zato je enačba tangentne črte # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Zdaj uporabljamo 84 na mestu # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Zato, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #