Kako najdete MacLaurinovo formulo za f (x) = sinhx in jo uporabite za približevanje f (1/2) znotraj 0,01?

Odgovor:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Pojasnilo:

Poznamo definicijo za #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Ker poznamo serijo Maclaurin za # e ^ x #, ga lahko uporabimo za konstruiranje enega za #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Za serijo lahko najdemo # e ^ -x # z zamenjavo # x # z # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Ta dva lahko odštejemo drug od drugega, da najdemo števec # sinh # opredelitev:

#barva (bela) (- e ^ -x.) e ^ x = barva (bela) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#barva (bela) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!)) … #

# e ^ xe ^ -x = barva (bela) (lllllllll) 2xboja (bela) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) barva (bela) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!)) … #

Vidimo lahko, da se vsi enakomerni pogoji odpovejo in vsi lihi izrazi so podvojeni. Ta vzorec lahko predstavimo tako:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Za dokončanje #sinh (x) # serija, to moramo samo razdeliti #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo preklic2 / (preklic2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Zdaj želimo izračunati #f (1 z natančnostjo vsaj #0.01#. Poznamo to splošno obliko Lagrangeove napake, ki je vezana na polimon taylorja n-te stopnje okoli # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # kje # M # je zgornja meja na n - ju derivatu v intervalu od. t # c # do # x #.

V našem primeru je širitev Maclaurinova serija, torej # c = 0 # in # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Derivati višjega reda #sinh (x) # bodisi bo #sinh (x) # ali #cosh (x) #. Če upoštevamo definicije zanje, to vidimo #cosh (x) # bo vedno večji od #sinh (x) #, zato bi morali rešiti # M #vezano za #cosh (x) #

Funkcija hiperbolične kosinusne funkcije se vedno poveča, tako da bo največja vrednost na intervalu #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Zdaj to vključimo v vezavo Lagrangeove napake:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Želimo # | R_n (x) | # biti manjša od. t #0.01#, zato poskusimo nekaj # n # vrednosti, dokler ne pridemo do te točke (čim manj izrazov v polinomu, tem bolje). To smo našli # n = 3 # je prva vrednost, ki nam bo dala napako, ki je manjša od #0.01#, zato moramo uporabiti polimen taylorja 3. stopnje.

#sinh (1/2) ~ ~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #