Število načinov, na katere lahko izpraševalec dodeli 30 točk na 8 vprašanj, ki so podana ne manj kot dve oceni, je vprašanje?

Odgovor:

#259459200#

Pojasnilo:

Če to pravilno berem, potem, če lahko izpraševalec dodeli oznake samo v večkratnikih 2. To bi torej pomenilo, da je od 30 znamk samo 15 možnosti. #30/2 = 15#

Potem imamo 15 izbir, razdeljenih po osmih vprašanjih.

Z uporabo formule za permutacije:

# (n!) / ((n - r)!) #

Kje # n # je število objektov (v tem primeru oznake v skupinah po 2).

In # r # koliko jih je vzetih v času (v tem primeru 8 vprašanj)

Torej imamo:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Odgovor:

Obstajajo # "" _ 21C_14 # (ali 116,280) načinov.

Pojasnilo:

Začnemo s 30 točkami v "banki", ki jih dajemo. Ker morajo biti vsa vprašanja vredna vsaj dveh oznak, vzamemo # 2 xx 8 = 16 # oznak #30# in jih enakomerno razdelite. Zdaj ima vsako vprašanje 2 (doslej) in "banki" je ostalo #30-16=14# oznak.

Sedaj pa moramo najti le nekaj načinov, kako razdeliti preostalih 14 znamk med 8 vprašanj. Sprva se to zdi zelo težko, toda obstaja trik, ki je veliko bolj intuitiven.

Poenostavimo stvari za trenutek. Kaj pa, če bi imeli samo dve vprašanji in 14 znakov, ki bi jih razdelili? Koliko načinov lahko to storimo? No, lahko razdelimo oznake na 14 + 0 ali 13 + 1 ali 12 + 2, itd. … ali 1 + 13 ali 0 + 14. Z drugimi besedami, ko moramo vnesti samo en razcep (med 2 vprašanji), dobimo 15 načinov za to.

To je enako kot spraševanje: "Koliko edinstvenih načinov lahko uredimo 14 rumenih frnikol (oznake) in 1 modri marmor (razdelilnik vprašanj) v vrsti?" Odgovor na to vprašanje najdemo tako, da se izračuna število permutacij vseh 15 frnikol (to je #15!#), nato pa delimo s številom načinov, kako preverimo obe rumeni frnikoli #(14!)# in modre frnikole #(1!)#ker v vsakem dogovoru ni pomembno, v kakšnem vrstnem redu se pojavijo enaki frnikoli.

Torej, ko je 14 rumenih frnikol (oznake) in 1 modri marmor (vprašalnik za razcepke), obstajajo

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Prekliči (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 načinov, kako urediti frnikole (razdeliti oznake). Opomba: to je enako # "" _ 15C_14 #.

Predstavimo še enega modrega marmorja - to je, drugi del, ali tretje vprašanje, ki ga je treba označiti. Zdaj imamo 16 skupnih frnikol, in želimo vedeti, koliko jih lahko uredimo. Podobno kot prej, vzamemo #16!# načinih, da uredite vse frnikole, nato pa jih razdelite po načinih, kako premešati oba rumena #(14!)# in modre #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Prekliči (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Tako obstaja 120 načinov za razdelitev 14 oznak med 3 vprašanji. To je tudi enako # "" _ 16C_14 #.

Do sedaj boste morda opazili, kam gremo. Številka na levi strani # C # je enako številu oznak, ki jih delimo (rumeni frnikoli) plus število razcepnikov (modri frnikole). Število razdelilnikov je vedno eno manj kot. t število vprašanj. Številka na desni strani # C # ostane število oznak.

Torej, da bi razdelili preostalih 14 oznak med vseh 8 vprašanj (kar zahteva 7 razdelilcev), izračunamo

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#barva (bela) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#barva (bela) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Tako je na voljo 116.280 načinov za dodelitev 30 točk za 8 vprašanj, pri čemer je vsako vprašanje vredno vsaj 2 znamki.