Kakšna je meja, ko se x približa neskončnosti (1 + a / x) ^ (bx)?

Z uporabo logaritma in l'Hopitalovega pravila, #lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Z uporabo zamenjave # t = a / x # ali enakovredno # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Z uporabo logaritemskih lastnosti,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Po l'Hopitalovem pravilu, #lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t do 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Zato

#lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Opomba: #t do 0 # kot #x do zaprtih #)