Odgovor:
Glejte razlago
Pojasnilo:
To je enostavno videti
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Zato imamo to # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 ali x = -3
Zavedajte se, da korenine # x_1 = 3, x_2 = -3 imajo veliko število #2#
ker imamo polinom 4. stopnje.
Odgovor:
#x = + -3
Pojasnilo:
Običajno, da bi rešili polinom stopnje 4, kot je ta tukaj, morate narediti sintetično delitev in uporabiti veliko izrekov in pravil - to postane nekako grdo. Vendar je ta posebna, ker jo lahko dejansko naredimo za kvadratno enačbo.
To počnemo z najemom #u = x ^ 2 #. Ne skrbi kje # u # je prišel iz; to je samo nekaj, kar uporabljamo za poenostavitev problema. S #u = x ^ 2 #, problem postane
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Ali to ne izgleda bolje? Zdaj imamo opraviti z lepo, enostavno kvadratno enačbo. Pravzaprav je to popoln kvadrat; z drugimi besedami, ko jo faktorizirate, dobite # (u-9) ^ 2 #. Seveda, lahko uporabimo kvadratno formulo ali dokončamo kvadrat, da bi rešili to enačbo, vendar običajno niste dovolj srečni, da bi imeli popoln kvadratni kvadrat - zato izkoristite. Na tej točki imamo:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Za reševanje vzamemo kvadratni koren obeh strani:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
In to poenostavlja
# u-9 = 0 #
Za konec dodamo 9 obema stranema
#u = 9 #
Super! Skoraj tam. Vendar pa je naš izvirni problem # x #v njem in naš odgovor ima a # u # v. Moramo se obrniti #u = 9 # v #x = # nekaj. Toda ne bojte se! Ne pozabite na začetku, da smo rekli let #u = x ^ 2 #? No zdaj, ko imamo svoje # u #, samo ga priklopimo nazaj, da najdemo našo # x #. Torej, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 (Ker #(-3)^2 = 9# in #(3)^2 = 9#)
Zato so naše rešitve #x = 3 # in #x = -3 #. Upoštevajte, da #x = 3 # in #x = -3 # so dvojne korenine, tako da so tehnično vse korenine #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
