Kaj je največji valj polmera, r in višine h, ki se lahko prilega v sfero polmera, R?

Odgovor:

Največjo prostornino jeklenke najdemo, če izberemo

# r = sqrt (2/3) R #, in #h = (2R) / sqrt (3) #

Ta izbira privede do največje prostornine valja:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Pojasnilo:

``

Predstavljajte si presek skozi središče valja in pustite, da je valj visok # h #in obseg # V #, potem imamo;

# h # in # r # lahko spreminjamo in # R # je konstanta. Prostornina jeklenke je podana s standardno formulo:

# V = pir ^ 2h #

Polmer krogle, # R # je hipotenuza trikotnika s stranicami # r # in # 1 / 2h #, tako da s Pythagoras imamo:

R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

To lahko nadomestimo z našo količinsko enačbo, da dobimo:

V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Zdaj imamo obseg, # V # kot funkcija ene spremenljivke # h #, ki si prizadevamo maksimirati wrt # h # tako razlikovanje wrt # h # daje:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Najmanj ali največ, # (dV) / (dh) = 0 # tako:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 4 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 # t

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # t (očitno želimo te + ve koren)

#:. h = (2R) / sqrt (3) # t

S to vrednostjo # h # dobimo:

r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Preveriti moramo, ali ta vrednost vodi do največjega (namesto največjega) obsega. To naredimo tako, da pogledamo na drugi izpeljani:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

In kot #h> 0 # to zaključimo # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # in da ugotovljena kritična točka povzroča največjo želeno vrednost.

Zato najdemo največjo prostornino jeklenke, če izberemo

# r = sqrt (2/3) R #, in #h = (2R) / sqrt (3) #

S to izbiro dobimo največji volumen kot;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

In očitno je obseg sfere podan z:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

To je zelo znan problem, ki so ga preučevali grški matematiki pred odkritjem analize. Zanimiva lastnost je razmerje med prostornino valja in prostornino krogle:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Z drugimi besedami, razmerje med volumni je popolnoma neodvisno od # R #, # r # ali # h # kar je osupljiv rezultat!