Dve številki imata razliko 20. Kako najdete številke, če je vsota njihovih kvadratov minimalna?

Odgovor:

#-10,10#

Pojasnilo:

Dve številki # n, m # tako, da # n-m = 20 #

Vsota njihovih kvadratov je podana z

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # ampak #m = n-20 # tako

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Kot lahko vidimo, #S (n) # je parabola z minimalno at

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # ali na # n_0 = 10 #

Številke so

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Odgovor:

10 in -10

Rešena brez računa.

Pojasnilo:

V Cesareovem odgovoru # d / (dn) S (n_0) # je račun. Poglejmo, ali lahko to rešimo brez računa.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) ("Naj bo prva številka" x) #

Naj bo druga številka # x + 20 #

Set # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "je vsota njihovih kvadratov" #

#color (rdeča) ("Torej moramo najti vrednost x, ki daje najmanjšo vrednost") # #barva (rdeča) ("od" y) #

Ta enačba je kvadratna in kot # x ^ 2 # izraz je pozitiven, potem je njegova splošna oblika oblika # uu #. Tako je tocka najmanjša vrednost za # y #

Napišite kot # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Kar sledi, je del postopka za dokončanje kvadrata.

Razmislite o 20 od # 20x #

#color (magenta) ("Potem je prva številka:" x _ ("vertex")) = (- 1/2) xx20 = -10) #

Tako je prva številka # x = -10 #

Druga številka je # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" barva (zelena) (bar (ul (| color (bela) (2/2) "Dve številki sta: -10 in 10" |))) #