Dva kota enakokrakega trikotnika sta pri (7, 5) in (3, 6). Če je površina trikotnika 6, kakšne so dolžine strani trikotnika?

Odgovor:

Obstaja nekaj načinov za to; pot z najmanj koraki je pojasnjena spodaj.

Vprašanje je dvoumno, katere dve strani sta enake dolžine. V tej razlagi bomo domnevali, da sta obe strani enake dolžine tisti, ki ju je še treba najti.

Pojasnilo:

Dolžina ene strani lahko ugotovimo samo iz koordinat, ki smo jih dobili.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Potem lahko uporabimo formulo za območje trikotnika glede na dolžino strani, da ugotovimo # b # in # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

kje # s = (a + b + c) / 2 # (imenovan semiperimeter)

Od # a = sqrt (17) # je znano in predpostavljamo # b = c #, imamo

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#barva (rdeča) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Nadomestite to v zgornjo formulo za območje in # A = 6 # in # a = sqrt17 #, dobimo

# 6 = sqrt ((barva (rdeča) (sqrt (17) / 2 + b)) (barva (rdeča) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (barva (rdeča) (sqrt (17)) 2 + b) -b) (barva (rdeča) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Naša rešitev je # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Opomba 1:

Možno je imeti trikotnik z dvema stranema dolžine #sqrt (17) # in območje # A = 6 # (to pomeni imeti # a = b = sqrt (17) # namesto # b = c #). To bo privedlo do drugačne rešitve.

Opomba 2:

To vprašanje bi lahko rešili tudi z iskanjem koordinat tretje točke. To bi vključevalo:

a) ugotavljanje dolžine znane strani # a #

b) iskanje nagiba # m # med tema dvema točkama

c) ugotovitev sredine # (x_1, y_1) # med tema dvema točkama

d) iskanje "višine" # h # tega trikotnika # A = 1/2 ah #

e) z uporabo nagiba višine #m_h = (- 1) / m #

f) z uporabo obeh formul za nagibno točko # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # in višinsko formulo # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # za rešitev ene od koordinat 3. točke # (x_2, y_2) #

g) po združitvi teh dveh enačb poenostavitev donosov

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) vključitev znanih vrednosti za # h #, # m_h #, in # x_1 # dobiti # x_2 #

i) z uporabo ene od enačb iz točke (f) # y_2 #

j) z uporabo formule razdalje poiščite preostale (enake) dolžine strani

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Vidite lahko, zakaj je prva metoda lažja.