Kako najdete mejo (ln x) ^ (1 / x), ko se x približa neskončnosti?

Odgovor:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Pojasnilo:

Začnemo s precej pogostim trikom pri obravnavanju spremenljivih eksponentov. Lahko vzamemo naravni dnevnik nečesa in ga nato dvignemo kot eksponenta eksponentne funkcije, ne da bi spremenili njeno vrednost, saj so to inverzne operacije - vendar nam omogoča, da uporabimo pravila dnevnikov na koristen način.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Uporaba eksponentnega pravila dnevnikov:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Opazite, da je to eksponent, ki se spreminja # xrarroo # zato se lahko osredotočimo na to in premaknemo eksponentno funkcijo zunaj:

# = exp (lim_ (xrarroo)) (ln (ln (x)) / x)) #

Če pogledate obnašanje naravne funkcije dnevnika, boste opazili, da ko je x nagnjena k neskončnosti, se vrednost funkcije nagiba tudi k neskončnosti, čeprav zelo počasi. Ko vzamemo #ln (ln (x)) # znotraj funkcije log imamo spremenljivko, ki se zelo počasi nagiba k neskončnosti, kar pomeni, da imamo celovito funkcijo, ki se nagiba k neskončnosti IZRAZNO počasi. Spodnji grafikon sega samo do # x = 1000 # vendar kaže izjemno počasno rast. t #ln (ln (x)) # celo v primerjavi s počasno rastjo. t #ln (x) #.

Iz tega vedenja lahko to sklepamo # x # bo pokazala veliko hitrejšo asimptotično rast in da bo torej meja eksponenta enaka nič. #color (modra) ("To pomeni, da je splošna omejitev = 1.") #

To točko lahko rešimo tudi z L'hopitalovim pravilom. Meja mora biti v nedoločeni obliki, tj # 0/0 ali oo / oo # zato preverjamo, ali je to tako:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

To je res tako, zato meja postane:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Razlikovati #y = ln (ln (x)) # prepoznamo, da imamo #y (u (x)) # in uporabi pravilo verige

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) pomeni (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) pomeni (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#torej (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Izpeljan iz # x # je #1#. Omejitev postane:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo)) (1 / (xln (x)))) #

Obravnavali smo, da obe funkciji imenovalca težita k neskončnosti, tako da imamo

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #