Kako rešiti za inte ^ xcosxdx?

Odgovor:

eint x e cos (x) d "x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Pojasnilo:

# I = int e ^ x cos (x) t

Integracijo bomo uporabljali po delih, kar navaja #int u "d" v = uv-int "d" u # t.

Uporabite integracijo po delih, z # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) t, in # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) t

Integracijo po delih uporabite z drugim integralom, z # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) t, in # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) t

Zdaj, spomnimo se smo # I = int e ^ x cos (x) t. Tako zgornja enačba postane naslednja (ne pozabite dodati konstante integracije):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Uporaba De Moivrejeve identitete

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # imamo

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e (x + ix) dx #

ampak #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

in končno

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #