Je f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 konkavna ali konveksna pri x = -1?

Odgovor:

# Convex #

Pojasnilo:

Če želite preveriti, ali je funkcija konveksna ali konkavna, moramo najti#f '' (x) #

Če #barva (rjava) (f '' (x)> 0) # potem #barva (rjava) (f (x)) # je #barva (rjava) (konveksna) #

Če #barva (rjava) (f '' (x) <0) # potem #barva (rjava) (f (x)) # je #barva (rjava) (konkavna) #

najprej najti #barva (modra) (f '(x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#barva (modra) (f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Zdaj pa pojdimo #barva (rdeča) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ x-e ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ x-e ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Poenostavimo ta delež # x #

#barva (rdeča) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Zdaj pa izračunamo #barva (rjava) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (-1) e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#barva (rjava) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) +6) #

#barva (rjava) (f '' (- 1)> 0 #

Torej,#f '' (x)> 0 # na # x = -1 #

Zato,#f (x) # je Covex na # x = -1 #

graf {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}