Za katere vrednosti x je f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkavna ali konveksna?

Odgovor:

Poiščite drugi derivat in preverite njegov znak. To je konveksno, če je pozitivno in konkavno, če je negativno.

Konkavni za:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konveksno za:

#x v (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Pojasnilo:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Prvi derivat:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Vzemite # e ^ -x # kot skupni dejavnik za poenostavitev naslednjega izvedenega

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Drugi derivat:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Zdaj moramo preučiti znak. Znak lahko zamenjamo za enostavno reševanje kvadratnega:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Če želite narediti kvadratni izdelek:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Zato:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Vrednost # x # med tema dvema rešitvama daje negativni kvadratni znak, medtem ko je katera koli druga vrednost # x # pozitivno.
• Vsaka vrednost # x # izdeluje # e ^ -x # pozitiven.
• Negativni znak na začetku funkcije obrne vse znake.

Zato, #f '' (x) # je:

Pozitivna, zato konkavna za:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativen, torej konveksen za:

#x v (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #