Kolikšna je dolžina loka r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na kositru [1, ln2]?

Odgovor:

Dolžina loka #~~ 2.42533 # (5dp)

Dolžina loka je negativna zaradi spodnje meje #1# večja od zgornje meje. t # ln2 #

Pojasnilo:

Imamo parametrično vektorsko funkcijo, podano z:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Za izračun dolžine loka bomo zahtevali vektorski derivat, ki ga lahko izračunamo s pravilom izdelka:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> # t

Potem izračunamo velikost izvedenega vektorja:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Potem lahko izračunamo dolžino loka z uporabo:

# L = int_ (1) ^ (ln2) t bb ul r '(t) | dt # t

# int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) t

Malo verjetno je, da lahko ta integral izračunamo z uporabo analitične tehnike, zato namesto z uporabo numeričnih metod dobimo približek:

# L ~~ 2.42533 t (5dp)

Dolžina loka je negativna zaradi spodnje meje #1# večja od zgornje meje. t # ln2 #