Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? In kaj je vsota v x = 3?

$Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? In kaj je vsota v x = 3?$

Odgovor:

# - oo, -4 "U" 5, oo "je interval konvergence za x" #

# "x = 3 ni v intervalu konvergence, zato je vsota za x = 3" oo #

Pojasnilo:

# "Obravnavaj vsoto, kot bi bila geometrična serija z zamenjavo" #.

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Potem imamo" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "za" | z | <1 #

# "Zato je interval konvergence" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ALI" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativno)" #

# "Pozitivni primer:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 in x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negativni primer:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 in x <5 #

# => x <-4 #

# "Drugi del:" x = 3 => z = 2> 1 => "vsota je" oo #

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Glej spodaj. Z uporabo polinomske identitete (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) imamo za abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), torej za x ne k pi, k v ZZ imamo sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Mi lahko ugotovimo, da je sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n je geometrijska serija z razmerjem r = 1 / (x (1-x)). Zdaj vemo, da se geometrijska serija konvergira, ko je absolutna vrednost razmerja manjša od 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Zato moramo to neenakost rešiti: 1 / (x (1-x)) <1 in 1 / (x (1-x))> -1 Začnimo s prvim: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Zlahka dokažemo, da je števec vedno pozitiven in imenovalec je negetive v interval x v (-oo, 0) U (1, oo). Torej je to rešitev za našo p

Kaj je x, če log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Ni rešitve v RR. Rešitve v CC: barva (bela) (xxx) 2 + i barva (bela) (xxx) "in" barva (bela) (xxx) 2-i Najprej uporabite pravilo logaritma: log_a (x) + log_a (y) = log_a (x * y) Tukaj to pomeni, da lahko enačbo spremenite tako: log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) <=> log_2 ((3-x)) (2-x)) = log_2 (1-x) Na tej točki, ker je vaša logaritemska osnova> 1, lahko "spustite" logaritem na obeh straneh, ker log x = log y <=> x = y za x, y> 0. Prosimo, pazite, da ne morete narediti take stvari, ko je še vedno vsota logaritmov kot na začetku. Torej, zdaj imate: log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x