Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Odgovor:

#x v (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Pojasnilo:

To lahko vidimo #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # je geometrijska serija z razmerjem # r = 1 / (x (1-x)) #.

Zdaj vemo, da se geometrijska serija konvergira, ko je absolutna vrednost razmerja manjša od 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Zato moramo odpraviti to neenakost:

# 1 / (x (1-x)) <1 in 1 / (x (1-x))> -1

Začnimo s prvim:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Z lahkoto lahko dokažemo, da je števec vedno pozitiven in da je imenovalec v intervalu negetiven #x v (-oo, 0) U (1, oo) #.

Torej je to rešitev za našo prvo neenakost.

Poglejmo drugo:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 ali (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Ta neenakost ima rešitev v intervalu:

#x v (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Torej se naša serija konvergira, kjer je to v intervalih resnično.

Tako je naš interval konvergence:

#x v (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Glej spodaj. Z uporabo polinomske identitete (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) imamo za abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), torej za x ne k pi, k v ZZ imamo sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? In kaj je vsota v x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["je interval konvergence za x" "x = 3 ni v intervalu konvergence, tako da je vsota za x = 3" oo ". to je geometrijska serija z nadomestitvijo "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Torej imamo" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "za" | z | <1 "Tako je interval konvergence" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ALI" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativno)" "Pozitivni primer:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x +

Kakšen je polmer konvergence za ta serija moči? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdot + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdot) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k vendar sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Zdaj glede na abs z <1 imamo sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) in int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z), ki zdaj opravi zamenjavo z -> - z imamo -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z), zato je konvergenten za abs z <1