Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

$Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?$

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Uporaba polinomske identitete

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

imamo za #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

potem, za #x ne k pi, k v ZZ # imamo

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Pokažite, da cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Malo sem zmeden, če naredim Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bo postal negativen kot cos (180 ° - theta) = - costheta v drugi kvadrant. Kako naj dokazujem vprašanje?

Glej spodaj. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? In kaj je vsota v x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["je interval konvergence za x" "x = 3 ni v intervalu konvergence, tako da je vsota za x = 3" oo ". to je geometrijska serija z nadomestitvijo "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Torej imamo" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "za" | z | <1 "Tako je interval konvergence" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ALI" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativno)" "Pozitivni primer:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x +

Kakšen je interval konvergence sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Mi lahko ugotovimo, da je sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n je geometrijska serija z razmerjem r = 1 / (x (1-x)). Zdaj vemo, da se geometrijska serija konvergira, ko je absolutna vrednost razmerja manjša od 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Zato moramo to neenakost rešiti: 1 / (x (1-x)) <1 in 1 / (x (1-x))> -1 Začnimo s prvim: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Zlahka dokažemo, da je števec vedno pozitiven in imenovalec je negetive v interval x v (-oo, 0) U (1, oo). Torej je to rešitev za našo p