Kdaj uporabljate Heronovo formulo, da najdete območje?

Uporabite ga lahko kadarkoli poznate dolžine vseh treh strani trikotnika.

Upam, da je bilo to koristno.

Odgovor:

Heronova formula je skoraj vedno napačna formula; poskusite Arhimedovo teoremo za trikotnik s področjem # A # in strani # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # kje # s = 1/2 (a + b + c) #

To zadnje je tanko zastrto Heron.

Pojasnilo:

Junak iz Aleksandrije je zapisal v prvem stoletju našega štetja. Zakaj še naprej mučimo študente s svojim rezultatom, ko je veliko lepših sodobnih ekvivalentov, nimam pojma.

Heronova formula za to območje # A # trikotnika s stranicami # a, b, c # je

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kje # s = 1/2 (a + b + c) # je semiperimeter.

Ni dvoma, da je ta formula super. Vendar je nerodno uporabiti zaradi frakcije in, če začnemo s koordinatami, štiri kvadratne korenine.

Samo naredimo matematiko. Mi kvadrat in odpraviti # s # ki večinoma služi za skrivanje a #16# in pomembna faktorizacija. Morda boste želeli sami poskusiti sami.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (+ b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je že veliko bolje kot Heronova oblika. Frakcijo shranimo do konca in nič več se ne sprašujemo o pomenu semiperimetra.

Izrojeni primer pripoveduje. Če je eden od teh faktorjev z znakom minus nič, potem se dve strani ujemata z drugo stranjo. To so razdalje med tremi kolinearnimi točkami, degeneriranimi trikotniki in dobimo ničelno območje. Zdi se smiselno.

The # a + b + c # dejavnik je zanimiv. Kaj nam pove, da ta formula še vedno deluje, če uporabljamo premike, podpisane dolžine, namesto vseh pozitivnih.

Formula je še vedno nerodna za uporabo danih koordinat. Pomnožimo jo; Morda boste želeli poskusiti sami;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ta oblika je odvisna samo od kvadratov dolžin. Jasno je popolnoma simetrično. Zdaj lahko gremo onstran Heron in reče, če kvadratne dolžine so racionalne, prav tako tudi kvadrat.

Ampak lahko naredimo bolje, če opazimo

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Odštevanje,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je najlepša oblika.

Obstaja asimetrična oblika, ki je običajno najbolj uporabna. Opozarjamo

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Dodaj to

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

To je najbolj uporabna oblika. Obstajajo trije načini za pisanje, zamenjava strani.

Skupaj se ti imenujejo Arhimedova teorema iz Rational Trigonometry NJ Wildbergerja.

Ko dobite 2D koordinate, je formula za vezice pogosto najhitrejša pot do območja, vendar jo bom shranila za druga delovna mesta.