Kakšna je dolžina loka (t-3, t + 4) na t v [2,4]?

Odgovor:

# A = 2sqrt2 #

Pojasnilo:

Formula za dolžino parametričnega loka je:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) t

Začnemo z iskanjem dveh derivatov:

# dx / dt = 1 # in # dy / dt = 1 #

To pomeni, da je dolžina loka:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Dejstvo je, da je parametrična funkcija tako preprosta (to je ravna črta), zato niti integralne formule ne potrebujemo. Če vnesemo funkcijo v graf, lahko uporabimo formulo za redno razdaljo:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

To nam daje enak rezultat kot integral, ki kaže, da obe metodi delujeta, čeprav v tem primeru priporočam grafično metodo, ker je enostavnejša.