Kakšna je projekcija (3i + 2j - 6k) na (3i - 4j + 4k)?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalarna projekcija je # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Pojasnilo:

Glede na # veca = (3i + 2j-6k) # in # vecb = (3i-4j + 4k) #, lahko najdemo #proj_ (vecb) veca #, vektor projekcijo # veca # na # vecb # po naslednji formuli:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To pomeni, da je točkovni produkt dveh vektorjev deljen z velikostjo # vecb #, pomnoženo z # vecb # deljena s svojo velikostjo. Druga količina je vektorska količina, ko vektor razdelimo s skalarjem. Upoštevajte, da delimo # vecb # zaradi njegove velikosti, da bi dobili a vektor (vektor z velikostjo #1#). Morda boste opazili, da je prva količina skalarna, saj vemo, da ko vzamemo točkovni produkt dveh vektorjev, je rezultat skalar.

Zato skalar projekcijo # a # na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, tudi napisano # | proj_ (vecb) veca | #.

Začnemo lahko tako, da vzamemo točkovni produkt dveh vektorjev, ki ga lahko zapišemo kot # veca = <3,2, -6> # in # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Potem lahko najdemo velikost # vecb # z upoštevanjem kvadratnega korena vsote kvadratov vsake komponente.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

In zdaj imamo vse, kar potrebujemo, da najdemo vektorsko projekcijo # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Koeficient lahko porazdelite na vsako komponento vektorja in zapišete kot:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Skalarna projekcija # veca # na # vecb # je samo prva polovica formule, kjer #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Zato je skalarna projekcija # -23 / sqrt (41) #, ki ne poenostavlja nadaljnjega, poleg racionalizacije imenovalca po želji, daje # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Upam, da to pomaga!