Kakšna je projekcija <0, 1, 3> na <0, 4, 4>?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< 0,2,2 >#, skalarna projekcija je # 2sqrt2 #. Glej spodaj.

Pojasnilo:

Glede na # veca = <0,1,3> # in # vecb = <0,4,4> #, lahko najdemo #proj_ (vecb) veca #, vektor projekcijo # veca # na # vecb # po naslednji formuli:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To pomeni, da je točkovni produkt dveh vektorjev deljen z velikostjo # vecb #, pomnoženo z # vecb # deljena s svojo velikostjo. Druga količina je vektorska količina, ko vektor razdelimo s skalarjem. Upoštevajte, da delimo # vecb # zaradi njegove velikosti, da bi dobili a vektor (vektor z velikostjo #1#). Morda boste opazili, da je prva količina skalarna, saj vemo, da ko vzamemo točkovni produkt dveh vektorjev, je rezultat skalar.

Zato skalar projekcijo # a # na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, tudi napisano # | proj_ (vecb) veca | #.

Začnemo lahko s točkovnim izdelkom dveh vektorjev:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Potem lahko najdemo velikost # vecb # z upoštevanjem kvadratnega korena vsote kvadratov vsake komponente.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

In zdaj imamo vse, kar potrebujemo, da najdemo vektorsko projekcijo # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Skalarna projekcija # veca # na # vecb # je samo prva polovica formule, kjer #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Zato je skalarna projekcija # 16 / sqrt (32) #, kar še dodatno poenostavlja # 2sqrt2 #. Spodaj sem prikazal poenostavitev.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Upam, da to pomaga!