Kako dokazujete: secx - cosx = sinx tanx?

Uporaba definicij. T # secx # in # tanx #, skupaj z identiteto

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, imamo

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Odgovor:

Najprej pretvorite vse izraze v # sinx # in # cosx #.

Druga pravila za vsoto frakcijskih količin za LHS.

Nazadnje uporabimo pitagorejsko identiteto: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Pojasnilo:

Najprej v vprašanjih o teh oblikah je dobra zamisel, da vse pojme pretvorimo v sinus in kosinus: torej, nadomestimo #tan x # z #sin x / cos x #

in zamenjajte #sec x # z # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # postane # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # postane #sin x sin x / cos x # ali # sin ^ 2 x / cos x #.

Zdaj uporabljamo pravila za frakcijsko vsoto za LHS, s čimer ustvarimo skupno osnovo (podobno kot frakcijo številk #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Nazadnje uporabimo pitagorejsko identiteto: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (ena izmed najbolj uporabnih identitet za te vrste težav).

S preurejanjem dobimo # 1 cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Zamenjamo # 1 cos ^ 2 x # v LHS # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # ki je enaka spremenjeni RHS.

Tako je LHS = RHS Q.E.D.

Upoštevajte, da ta splošni vzorec pridobivanja stvari v smislu sinusa in kosinusa, z uporabo pravil frakcije in pitagorejske identitete, pogosto rešuje te vrste vprašanj.

Če tako želimo, lahko spreminjamo tudi desno stran, da se ujema z levo.

Morali bi pisati # sinxtanx # v smislu # sinx # in # cosx #, z uporabo identitete #barva (rdeča) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Sedaj uporabljamo Pitagorejsko identiteto, ki je # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. To lahko spremenimo in rešimo # sin ^ 2x #, torej: #barva (rdeča) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Zdaj pa razdeli števec:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Uporabite vzajemno identiteto #barva (rdeča) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Odgovor:

Res je tako preprosto …

Pojasnilo:

Uporaba identitete # tanx = sinx / cosx #, pomnožite # sinx # na identiteto:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Potem pomnožite # cosx # skozi enačbo:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Glede na to # secx # je inverzna # cosx #.

Nazadnje z uporabo trigonometrične identitete # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, končni odgovor bi bil:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #