Kako dokazujete (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Kako dokazujete (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?
Anonim

Za dokončanje dokaza bomo potrebovali ti dve identiteti:

tanx = sinx / cosx tanx=sinxcosx

cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) cos(x2)=+1+cosx2

Začel bom z desno stranjo in nato manipuliral, dokler ne bo videti kot na levi strani:

RHS = cos ^ 2 (x / 2) RHS=cos2(x2)

barva (bela) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 ¯va(bela)(RHS)=(cos(x2))2

color (bel) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 RHS=(+1+cosx2)2

barva (bela) (RHS) = (1 + cosx) / 2 ¯va(bela)(RHS)=1+cosx2

barva (bela) (RHS) = (1 + cosx) / 2barva (rdeča) (* sinx / sinx)

barva (bela) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx)

barva (bela) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) barva (rdeča) (* (1 / cosx) / (1 / cosx))

barva (bela) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx)

barva (bela) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx)

barva (bela) (RHS) = LHS

To je dokaz. Upam, da je to pomagalo!

Prizadevamo si dokazati identiteto:

(tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2)

Upoštevajte LHS izraza in uporabite definicijo tangente:

LHS = (tanx + sinx) / (2tanx)

(sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) t

(cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) t

(cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 t

(1 + cosx) / 2 t

Zdaj pa razmislite o RHS in uporabite identiteto:

cos2A - = 2cos ^ 2A - 1

Dajemo:

cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2)

:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS

Tako:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

LHS = (tanx + sinx) / (2tanx)

= (prekliči (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2zaključi (tanx))

= (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS