Dva kota enakokrakega trikotnika sta pri (1, 3) in (9, 4). Če je območje trikotnika 64, kakšne so dolžine strani trikotnika?

Odgovor:

Dolžine strani trikotnika so:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Pojasnilo:

Razdalja med dvema točkama # (x_1, y_1) # in # (x_2, y_2) # je podana s formulo razdalje:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Torej razdalja med # (x_1, y_1) = (1, 3) # in # (x_2, y_2) = (9, 4) # je:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

ki je iracionalna številka malo večja od #8#.

Če je ena od drugih strani trikotnika enake dolžine, je največja možna površina trikotnika:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

To ne more biti tako. Namesto tega morata biti drugi dve strani enake dolžine.

Glede na trikotnik s stranicami # a = sqrt (65), b = t, c = t #, lahko uporabimo Heronovo formulo, da najdemo njeno območje.

Formula za čaplje nam pove, da je površina trikotnika s stranicami #a, b, c # in pol perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # daje:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

V našem primeru je pol-perimeter:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

in Heronova formula nam pove, da:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-kvadrat (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (bela) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Pomnožite oba konca s #2# dobiti:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Kvadrat obeh strani, da dobite:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Pomnožite obe strani z #4/65# dobiti:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Prenesite in dodajte #65/4# na obe strani:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Vzemite pozitivni kvadratni koren obeh strani, da dobite:

#t = sqrt (266369/260) #

Torej so dolžine strani trikotnika:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternativna metoda

Namesto da uporabimo Heronovo formulo, lahko razložimo takole:

Glede na to, da je osnova enakokrakega trikotnika dolga:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Območje je # 64 = 1/2 "osnove" xx "višina" #

Torej je višina trikotnika:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

To je dolžina simetralne pravokotnice trikotnika, ki poteka skozi sredino baze.

Druge strani tvorijo hipotenuse dveh pravokotnih trikotnikov z nogami #sqrt (65) / 2 # in # (128sqrt (65)) / 65 #

Tako Pythagoras, vsaka od teh strani je dolžine:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #