Trikotnik A ima površino 12 in dve strani dolžine 4 in 8. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 7. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Odgovor:

#A_ "Bmin" ~~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

Pojasnilo:

Najprej morate najti dolžine strani za največji velikostni trikotnik A, če je najdaljša stran večja od 4 in 8. t in najmanjši trikotnik, ko je 8 najdaljša stran.

Storiti to uporabite formulo Heron's Area: #s = (a + b + c) / 2 # kje #a, b, & c # so dolžine strani trikotnika:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Let #a = 8, b = 4 "&" c "je neznana dolžina strani" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Kvadrat obeh strani:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Izvlecite 1/2 vsakega faktorja:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

Poenostavite:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

* Namestnik #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Uporabite zaključek kvadrata:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Kvadratni koren obeh strani:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

Namestnik # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Ker so dolžine strani trikotnika pozitivne, moramo spregledati negativne odgovore:

Najmanjša in največja dolžina strani trikotnika A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137, 11.06 #

Od območje trikotnikov je sorazmerno s kvadratom stranskih dolžin najdemo največje in najmanjše površine trikotnika B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~ ~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4,8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

Trikotnik A ima površino 12 in dve strani dolžine 5 in 7. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 19. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Največja površina = 187.947 kvadratnih enot Najmanjša površina = 88.4082 "" kvadratnih enot Trikotnika A in B sta podobna. Po metodi razmerja in razmerja trikotnik B ima tri možne trikotnike. Za trikotnik A: strani so x = 7, y = 5, z = 4.800941906394, kot Z = 43.29180759327 ^ @ Kot Z med stranema x in y smo dobili s formulo za površino trikotnika Area = 1/2 * x * y * sin Z 12 = 1/2 * 7 * 5 * sin ZZ = 43.29180759327 ^ @ Tri možne trikotnike za trikotnik B: strani so trikotnik 1. x_1 = 19, y_1 = 95/7, z_1 = 13.031128031641, kot Z_1 = 43.29180759327 ^ @ Trikotnik 2. x_2 = 133/5, y_2 = 19, z_2 = 18.243579244297, kot

Trikotnik A ima površino 12 in dve strani dolžine 6 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Največja površina 48 in najmanjša površina 21.3333 ** Delta s A in B sta podobni. Da bi dobili maksimalno območje Delta B, bi morala stran 12 Delta B ustrezati strani 6 Delta A. Strani so v razmerju 12: 6. Zato bodo površine v razmerju 12 ^ 2: 6 ^ 2 = 144: 36 Največje območje trikotnika B = (12 * 144) / 36 = 48 Podobno kot za najmanjšo površino bo stran 9 Delta A ustrezala strani 12 Delta B. Strani sta v razmerju 12: 9 in območji 144: 81 Minimalna površina Delta B = (12 * 144) / 81 = 21,3333

Trikotnik A ima površino 12 in dve strani dolžine 6 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 15. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?

Največja površina trikotnika B = 75 Najmanjša površina trikotnika B = 100/3 = 33.3 Podobni trikotniki imajo enaka kota in razmerja velikosti. To pomeni, da bo sprememba dolžine katere koli strani, bodisi večje ali manjše, enaka za druge dve strani. Posledično bo območje podobnega trikotnika tudi razmerje enega do drugega. Pokazalo se je, da če je razmerje strani podobnih trikotnikov R, potem je razmerje površin trikotnikov R ^ 2. Primer: Za 3,4,5, trikotnik pod pravim kotom, ki stoji na bazi 3, se lahko njegovo območje zlahka izračuna iz A_A = 1 / 2bh = 1/2 (3) (4) = 6. Če pa se vse tri strani podvojijo po dolžini, je obmo