Naj bo P poljubna točka na stožnici r = 12 / (3-sin x). Naj bodo F¹ in F² točke (0, 0 °) oziroma (3, 90 °). Pokažite, da je PF¹ in PF² = 9?

Odgovor:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Mi smo morali pokazati # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, t.j. # P # z žariščem izbriše elipso # F_1 # in # F_2. Glej dokazilo spodaj.

Pojasnilo:

Popravimo, kar mislim, da je tipkarska napaka in reči #P (r, theta) # izpolnjuje

#r = 12 / {3-sin theta} #

Obseg sinusa je #pm 1 # zato zaključujemo # 4 le 6. le 6.

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

V pravokotnih koordinatah, # P = (r cos theta, r sin theta) # in # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # ker že vemo # 4 le 6. le 6.

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #

Pokažite, da cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Malo sem zmeden, če naredim Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bo postal negativen kot cos (180 ° - theta) = - costheta v drugi kvadrant. Kako naj dokazujem vprašanje?

Glej spodaj. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

"Dokler se ne zavejo, se ne bodo nikoli uprli in dokler se ne bodo uprli, se ne bodo mogli zavedati." Zakaj je to paradoks?

Glej spodaj: Začnimo z govorjenjem o tem, kaj je paradoks - to je izjava ali niz izjav, ki so sicer same po sebi logične in interakcijo, da vodijo v nemogoče ali absurdnosti. http://en.wikipedia.org/wiki/Paradox Ena od mojih priljubljenih je: Naslednja izjava je resnična. Prejšnja izjava je napačna. Če sledimo logiki, prva izjava pravi, da je druga izjava resnična. Toda druga izjava pravi, da je prva izjava napačna ... kar pomeni, da bi morala prva izjava resnično prebrati, da je druga izjava resnična ... kar pomeni, da mora biti prva izjava resnična ... in na in na in na ... To je logična absurdnost. Izjave v vprašanju gr

Naj bodo A (x_a, y_a) in B (x_b, y_b) dve točki v ravnini in naj bo P (x, y) točka, ki razdeli bar (AB) v razmerju k: 1, kjer je k> 0. Pokažite, da je x = (x_a + kx_b) / (1 + k) in y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Glej dokaz spodaj Začnimo z izračunom vec (AB) in vec (AP) Začnemo s x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k Množenje in prerazporeditev (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Reševanje za x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + 1) ) x = x_a + kx_b x = (x_a + kx_b) / (k + 1) Podobno, z y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k) +1) - (k + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)