Naj bodo A (x_a, y_a) in B (x_b, y_b) dve točki v ravnini in naj bo P (x, y) točka, ki razdeli bar (AB) v razmerju k: 1, kjer je k> 0. Pokažite, da je x = (x_a + kx_b) / (1 + k) in y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Odgovor:

Glej dokazilo spodaj

Pojasnilo:

Začnimo z izračunom #vec (AB) # in #vec (AP) #

Začnemo s # x #

#vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k #

# (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k #

Množenje in prerazporeditev

# (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) #

Reševanje za # x #

# (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a #

# (k + 1) x = x_a + kx_b #

# x = (x_a + kx_b) / (k + 1) #

Podobno, z # y #

# (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k #

# ky_b-ky_a = y (k + 1) - (k + 1) y_a #

# (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a #

# y = (y_a + ky_b) / (k + 1) #

Naj bo A ( 3,5) in B (5, 10)). Najdi: (1) dolžino segmentne palice (AB) (2) srednjo točko P (AB) (3) točko Q, ki razdeli bar (AB) v razmerju 2: 5?

(1) dolžina segmentne palice (AB) je 17 (2) Srednja točka črtice (AB) je (1, -7 1/2) (3) Koordinate točke Q, ki razdeli bar (AB) v razmerje 2: 5 (-5 / 7,5 / 7) Če imamo dve točki A (x_1, y_1) in B (x_2, y_2), je dolžina črtice (AB), tj. razdalja med njimi, podana s sqrt (( x_2-x_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) in koordinate točke P, ki deli segmentno črto (AB), ki povezuje ti dve točki v razmerju l: m ((lx_2 + mx_1) / (l +) m), (lx_2 + mx_1) / (l + m)) in kot razdeljeni segment v razmerju 1: 1, bi bil njegov koordiniran ((x_2 + x_1) / 2, (x_2 + x_1) / 2) A (-3,5) in B (5, -10) (1) dolžina segmentne palice (AB) je sqrt ((5 - (- 3))

Naj je klobuk (ABC) poljuben trikotnik, raztezajoča črta (AC) do D, tako da je črt (CD) (bar (CB); raztegnite se tudi prečko (CB) v E, tako da je bar (CE) (bar (CA). Segmenti bar (DE) in vrstica (AB) se ujemata s F. Pokažite, da je klobuk (DFB enakokrožen?

Kot sledi Ref: Glede na sliko "In" DeltaCBD, bar (CD) ~ = bar (CB) => / _ CBD = / _ CDB "Spet v" DeltaABC in DeltaDEC bar (CE) ~ = bar (AC) -> "po konstrukciji "bar (CD) ~ = bar (CB) ->" po konstrukciji "" And "/ _DCE =" navpično nasproti "/ _BCA" Zato "DeltaABC ~ = DeltaDCE => / _ EDC = / _ ABC" Zdaj v "DeltaBDF, / _FBD = / _ ABC + / _ CBD = / _ EDC + / _ CDB = / _ EDB = / _ FDB "So" bar (FB) ~ = bar (FD) => DeltaFBD "je enakokračno"

Naj bo P poljubna točka na stožnici r = 12 / (3-sin x). Naj bodo F¹ in F² točke (0, 0 °) oziroma (3, 90 °). Pokažite, da je PF¹ in PF² = 9?

R = 12 / {3-sin theta} Prosimo vas, da pokažete | PF_1 | + | PF_2 | = 9, tj. P pomakne elipso s žarišči F_1 in F_2. Glej dokazilo spodaj. # Popravimo, kar bom ugibal, je tipkarska napaka in pravimo, da P (r, theta) izpolnjuje r = 12 / {3-sin theta} Območje sine je pm 1, zato zaključimo 4 le r le 6. 3r - r sin theta = 12 | PF_1 | = | P - 0 | = r V pravokotnih koordinatah P = (r cos theta, r sin theta) in F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 -