Recimo, da je bila osnova za in določeno število dimenzij za podprostor W v RR ^ 4. Zakaj je število dimenzij 2?

Odgovor:

4 dimenzije minus 2 omejitve = 2 dimenzije

Pojasnilo:

3. in 4. koordinata sta edini neodvisni. Prva dva se lahko izrazita v zadnjih dveh.

Odgovor:

Dimenzijo podprostora določajo njene osnove, ne pa dimenzija kateregakoli vektorskega prostora, ki je podprostor.

Pojasnilo:

Dimenzija vektorskega prostora je definirana s številom vektorjev v osnovi tega prostora (za neskončne dimenzijske prostore je definirana s kardinalnostjo osnove). Upoštevajte, da je ta definicija dosledna, saj lahko dokažemo, da bo vsaka osnova vektorskega prostora imela enako število vektorjev kot katera koli druga osnova.

V primeru # RR ^ n # to vemo #dim (RR ^ n) = n # kot

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

je osnova za # RR ^ n # in je # n # elementov.

V primeru #W = s, t v RR # lahko napišemo kateri koli element # W # kot #svec (u) + vec (v) # kje #vec (u) = (4,1,0,1) # in #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Iz tega imamo to # {vec (u), vec (v)} # je razpon za # W #. Ker #vec (u) # in #vec (v) # očitno niso skalarni mnogokratniki drug drugega (upoštevajte položaje #0#s), to pomeni # {vec (u), vec (v)} # je linearno neodvisen raztezalni nabor za # W #to je osnova. Ker # W # ima podlago #2# elementov, pravimo to #dim (W) = 2 #.

Upoštevajte, da dimenzija vektorskega prostora ni odvisna od tega, ali lahko njeni vektorji obstajajo v drugih vektorskih prostorih večje dimenzije. Edina povezava je, če # W # je podprostor # V # potem #dim (W) <= dim (V) # in #dim (W) = dim (V) <=> W = V #