Je sqrt21 realno število, racionalno število, celo število, celo število, iracionalno število?

Odgovor:

Je iracionalno število in je zato resnično.

Pojasnilo:

Najprej to dokažemo #sqrt (21) # je realno število, pravzaprav je kvadratni koren vseh pozitivnih realnih števil resničen. Če # x # je realno število, potem definiramo za pozitivne številke #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. To pomeni, da gledamo vse realne številke # y # tako, da # y ^ 2 <= x # in vzemite najmanjše realno število, ki je večje od vseh teh # y #tako imenovani supremum. Za negativna števila, te # y #'s' ne obstajajo, ker za vsa realna števila dobimo kvadrat tega števila pozitivno število, vsa pozitivna števila pa so večja od negativnih.

Za vsa pozitivna števila je vedno nekaj # y # ki ustreza pogoju # y ^ 2 <= x #namreč #0#. Poleg tega obstaja zgornja meja teh številk, namreč # x + 1 #, ker če # 0 <= y <1 #, potem # x + 1> y #, če #y> = 1 #, potem #y <= y ^ 2 <= x #, Torej # x + 1> y #. Pokažemo lahko, da je za vsak omejen ne prazen nabor realnih številk vedno prisotno edinstveno realno število, ki deluje kot supremum, zaradi tako imenovane popolnosti. # RR #. Torej za vse pozitivne realne številke # x # obstaja resnično #sqrt (x) #. To lahko pokažemo tudi v tem primeru #sqrt (x) ^ 2 = x #, toda če me ne želite, tega ne bom dokazal tukaj. Nazadnje to opažamo #sqrt (x)> = 0 #, od #0# je številka, ki ustreza pogoju, kot je navedeno prej.

Zdaj za iracionalnost #sqrt (21) #. Če ne bi bilo iracionalno (tako racionalno), bi ga lahko napisali kot #sqrt (21) = a / b # z # a # in # b # številke in # a / b # poenostavljeno, kar pomeni, da # a # in # b # nimajo skupnega delitelja, razen #1#. To zdaj pomeni # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Zdaj uporabljamo nekaj, kar se imenuje prime faktorizacija naravnih števil. To pomeni, da lahko zapišemo vsako pozitivno celo število kot edinstven produkt praštevil. Za #21# to je #3*7# in za # a # in # b # to je nekakšen poljuben produkt primes # a = a_1 * … * a_n # in # b = b_1 * … * b_m #. Dejstvo, da je edini skupni delitelj # a # in # b # je #1# je enakovredna dejstvu, da # a # in # b # v njihovi faktorizaciji ne delite nobenih praštevil, tako da so # a_i # in # b_j # tako, da # a_i = b_j #. To pomeni da # a ^ 2 # in # b ^ 2 # tudi ne delite nobenih primes, saj # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # in # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., zato je edini skupni delitelj # a ^ 2 # in # b ^ 2 # je #1#. Od # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, to pomeni # b ^ 2 = 1 #, Torej # b = 1 #. Zato #sqrt (21) = a #. Upoštevajte, da to velja le pod predpostavko, da #sqrt (21) # je racionalna.

Sedaj bi seveda lahko prešli skozi vsa pozitivna števila manjša od #21# in preverite, če jih daje kvadriranje #21#, vendar je to dolgočasna metoda. Da bi to naredili na bolj zanimiv način, se ponovno obrnemo na naše praštevila. To vemo # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # in #21=3*7#, Torej # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Na levi strani se vsak premiž pojavlja samo enkrat, na desni strani, vsak premik se pojavi vsaj dvakrat in vedno enakomeren (če # a_1 = a_n # to bi se zgodilo vsaj štirikrat). Toda kot smo že omenili, so te osnovne faktorizacije edinstvene, zato to ne more biti prav. Zato # 21nea ^ 2 #, Torej #anesqrt (21) #, kar pomeni, da je naša prejšnja predpostavka #sqrt (21) # biti racionalna se izkaže za napačno #sqrt (21) # je iracionalen.

Upoštevajte, da velja isti argument za katero koli pozitivno celo število # x # s primarno faktorizacijo, kjer je eden izmed primes enakomerno število krat, saj ima kvadrat celega števila vedno vse svoje osnovne faktorje, ki kažejo celo število krat. Iz tega sklepamo, da če # x # je pozitivno celo število (#x inNN #) ima glavni dejavnik, ki se pojavlja le neenakomerno, #sqrt (x) # bo nerazumno.

Zavedam se, da se ta dokaz morda zdi dolg, vendar uporablja pomembne koncepte iz matematike. Verjetno v kateremkoli srednješolskem kurikulumu te vrste razmišljanja niso vključena (nisem 100% prepričan, ne poznam učnega načrta vsake srednje šole na svetu), ampak za dejanske matematike, dokazovanje stvari je ena od najpomembnejše dejavnosti, ki jih opravljajo. Zato sem vam želel pokazati, kakšna je matematika, ki vzame kvadratni koren stvari. To, kar morate vzeti iz tega, je res #sqrt (21) # je iracionalna številka.