Kakšna je verjetnost zmage v naslednji neskončno ponovljeni igri?

Odgovor:

# "Odgovor D)" #

Pojasnilo:

# "To je edini logični odgovor, drugi so nemogoči."

# "To je problem propada kockarja."

# "Kockar se začne s k dolarjem." #

# "Igra, dokler ne doseže G dolarja ali pade nazaj na 0."

#p = "možnost, da dobi 1 dolar v eni igri."

#q = 1 - p = "možnost, da izgubi 1 dolar v eni igri."

# "Pokličite" r_k "verjetnost (možnost), da se uniči."

# "Potem imamo" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "z" 1 <= k <= G-1 #

# "To enačbo lahko ponovno napišemo zaradi p + q = 1, kot sledi:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Zdaj imamo primer" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Za" r_k "imamo" # #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Torej igralec A začne tukaj s k = dolarjem in igra, dokler" # #

# "uniči se ali ima + b dolar."

# => k = a, "in" G = a + b #

# "Torej je verjetnost, da bo uničen," #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Verjetnost, da zmaga, je" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Odgovor D)" #