Brez grafiranja, kako se odločite, ali ima naslednji sistem linearnih enačb eno rešitev, neskončno veliko rešitev ali brez rešitve?

Odgovor:

Sistem od # N # linearne enačbe z # N # neznane spremenljivke, ki ne vsebujejo linearne odvisnosti med enačbami (z drugimi besedami, njenimi determinanta ni enaka nič) bo imela eno in samo eno rešitev.

Pojasnilo:

Poglejmo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznanima spremenljivkama:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Če se par # (A, B) # ni sorazmerna s parom # (D, E) # (to pomeni, da take številke ni # k # to # D = kA # in # E = kB #, ki se lahko preveri glede na stanje # A * E-B * D! = 0 #) potem obstaja ena in samo ena rešitev:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Primer:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3

Rešitev:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Če se par # (A, B) # je sorazmerna s parom # (D, E) # (kar pomeni, da obstaja taka številka # k # to # D = kA # in # E = kB #, ki ga lahko preverite s pogojem # A * E-B * D = 0 #), obstajata dva primera:

(a) neskončno število rešitev, če:. t # C # in # F # so sorazmerni z enakim koeficientom kot. t # A # in # D #, to je # F = kC #, kje # k # enak koeficient sorazmernosti;

Primer:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Tukaj # k = 2 # za vse pare: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Druga enačba je trivialna posledica prve (samo pomnožite prvo enačbo s #2#) in zato ne zagotavlja nobenih dodatnih informacij o neznanem, saj učinkovito zmanjša število enačb na 1.

(b) sploh nobenih rešitev, če #F! = KC #

Primer:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

V tem primeru se enačbe med seboj nasprotujejo, ker s pomnožitvijo prvega z 2 dobimo enačbo # 2x + 8y = 6 #, s katerim ne moremo imeti skupne rešitve # 2x + 8y = 5 # ker so levi deli teh dveh enačb enaki, vendar desni deli niso.