Katera od naslednjih trditev je resnična / napačna? (i) R 2 ima neskončno veliko ne-ničelnih, pravih vektorskih podsklopov. (ii) Vsak sistem homogenih linearnih enačb ima ničelno rešitev.

Odgovor:

# #

# "(i) Res." #

# "(ii) False."

Pojasnilo:

# #

# "Dokazi." #

# "(i) Ustvarimo lahko takšen nabor podprostorov:" #

# "1)" za vse r v RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) v RR ^ 2. #

# "Geometrično," V_r "je črta, ki poteka skozi izvor" RR ^ 2 "," nagiba ".

# "2) Preverili bomo, ali te podprostori upravičujejo trditev (i)." #

# "3) Jasno:" qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Preverite, ali:" qquad qquad V_r "je pravi podprostor" RR ^ 2 ". #

# "Pustiti:" q u, v v V_r, alfa, beta v RR. qquad qquad qquad quad "Preveri, da:" quad alfa u + v v V_r. #

# u, v v V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "za nekatere" x_1, x_2 v RR #

#qquad qquad:. qqad kvadrat alfa u + v v = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

q (kv_1, rx_1) + (x_2, r x_2) # # (x_2, r x_1) + t

alfa x_1, alfa r x_1) + (beta x_2, r x_2) # (# xx1, qqad qqad qquad qquad qqad

alfa x_1 + beta x_2, alfa r x_1 + rx_2) # # qquad qquad qquad qquad

alfa x_1 + beta x_2, r (alfa x_1 + beta x_2)) # # qquad qquad qquad qquad

# qquad qquad (x_3, r x_3) v V_r; xx1 "beta" x_2. #

# "Torej:" qquad qquadu, v v Vr, alfa, beta v RR quad rArr quad alfa u + v v V_r. #

# "Torej:" qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "je podprostor" R ^ 2 ". #

# "Če želite videti, da je" V_r t

qquad qquad qquad qquad (1, r) v V_r, "in" (1, r) ne (0, 0).

# "Da bi videli, da je" V_r je pravilno, "upoštevajte, da" (1, r + 1)! V V_r: #

# (1, r + 1) v V_r rArr "(z konstrukcijo" V_r ")" quad r = cdot 1 = r + 1 #

rqr r = r + 1, "očitno nemogoče". #

# "Torej:" qquad qquad qqad V_r "je ne-nič, pravilen podprostor" R ^ 2. qquad (1) #

# 5) Sedaj pokažite, da je neskončno veliko takšnih podprostorjev. #

# "Pustiti:" qquad r, s v RR. qquad qquad qquad quad "Pokazali bomo:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Po definiciji:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) v V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) v V_s. #

# "Jasno:" qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Tako:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Torej vsak" r v RR "ustvari ločen podprostor" V_r. #

# "To skupaj z (1) daje:" #

# "Družina podprostorov:" r v RR "je neskončna družina" #

# "ne-ničelnih, ustreznih podprostorjev" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qqad kvadratno število

# "(ii) To je dejansko preprosto. Če je sistem kvadraten, in" #.

# "matrika koeficientov sistema v obrnljivi obliki, bo le" # #

# "ničelna rešitev." #

# "Recimo:" qquad qquad quad A "je kvadratna inverzna matrika." #

# "Upoštevajte homogeni sistem:" #

qqad qquad qquad qquad qqad qquad qquad qqad Aq = 0. #

# "Torej, kot je" A t

cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0, qquad qquad qquad qquad qquad #

#qquad qquad I x = 0. #

#qquad qquad x = 0. #

# "Torej homogeni sistem" A x = 0, "nima" #

# "Ničelna rešitev." qquad qquad qquad qquad qquad qquad

Katera od naslednjih trditev je resnična / napačna? 1. Če je σ enakomerna permutacija, potem je σ ^ 2 = 1.

False Tudi permutacija se lahko razdeli na sodo število prenosov. Na primer ((2, 3)), ki mu sledi ((1, 2)), je enakovredna ((1, 2, 3)) Torej, če sigma = ((1, 2, 3)) potem sigma ^ 3 = 1, vendar sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1

Brez grafiranja, kako se odločite, ali ima naslednji sistem linearnih enačb eno rešitev, neskončno veliko rešitev ali brez rešitve?

Sistem N linearnih enačb z N neznanimi spremenljivkami, ki ne vsebuje linearne odvisnosti med enačbami (z drugimi besedami, njegova determinanta je ničelna), ima eno in samo eno rešitev. Poglejmo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznanima spremenljivkama: Ax + By = C Dx + Ey = F Če par (A, B) ni sorazmeren paru (D, E) (to pomeni, da ni take številke k) da je D = kA in E = kB, ki se lahko preveri s pogojem A * EB * D! = 0), potem je ena in samo ena rešitev: x = (C * EB * F) / (A * EB * D) , y = (A * FC * D) / (A * EB * D) Primer: x + y = 3 x-2y = -3 Rešitev: x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 y = (1 * (-

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Kaj lahko rečemo o sistemu enačb? Ali ima eno rešitev, neskončno veliko rešitev, brez rešitve ali dveh rešitev.

Neskončno veliko Imamo dve enačbi: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Tukaj je naša izbira: Če lahko naredim E1 natančno E2, imamo dva izraza iste črte in tako je neskončno veliko rešitev. Če lahko izraze x in y v E1 in E2 enaka, vendar končajo z različnimi številkami, ki so enake, so linije vzporedne in zato ni rešitev.Če ne morem narediti nobenega od teh, potem imam dve različni vrstici, ki nista vzporedni, zato se bo nekje križalo. Ni možnosti, da bi imeli dve ravni črti dve rešitvi (vzemite dve slamici in se prepričajte sami - če ju ne upognete, ne morete dobiti dvakratnega križa). Ko začnete učiti grafov krivulj (kot so pa