Kako integrirate int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Odgovor:

Uporabi # u #- zamenjava # -3lnabs (posteljica (t)) + C #.

Pojasnilo:

Prvič, upoštevajte, da zato #3# je konstanta, jo lahko izvlečemo iz integrala, da poenostavimo:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Zdaj - in to je najpomembnejši del - opazite, da je izpeljan #cot (t) # je # -csc ^ 2 (t) #. Ker imamo funkcijo in njen derivat v istem integralu, lahko uporabimo a # u # zamenjava:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Pozitivno lahko spremenimo # csc ^ 2 (t) # v negativ, kot je ta:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

In uporabite zamenjavo:

# -3int (du) / u #

To vemo #int (du) / u = lnabs (u) + C #, tako da se opravi vrednotenje integralov. Samo zamenjati moramo nadomestek (odgovor nazaj v smislu # t #) in priložite to #-3# rezultat. Od # u = cot (t) #, lahko rečemo:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3 lnabs (cot (t)) + C #

In to je vse.

Odgovor:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Pojasnilo:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Zapomni si to

#sin 2t = 2sint * strošek #

Torej

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Kot lahko najdemo v tabeli integralov

(na primer Tabela integralov, ki vsebujejo Csc (ax) v SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

dobimo ta rezultat

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.